Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores , sendo dados e . Resp: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de vetores e ortogonalidade. Vamos precisar calcular o produto vetorial para encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois vetores dados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores com os quais precisamos trabalhar:
Passo 3
Agora, para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos e , usamos o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Vamos calcular :
Explicando, , , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 4
Calculando o determinante:
a times b = i cdot [(-2)(-1) - (-7)(1)] - j cdot [(7)(-1) - (-7)(-2)] + k cdot [(7)(1) - (-2)(-2)]
= i cdot (2 + 7) - j cdot (-7 - 14) + k cdot (7 - 4)
= i cdot 9 - j cdot (-21) + k cdot 3
= (9, 21, 3)
Passo 5
Perceba que (9, 21, 3) = 3(3, 7, 1) é um vetor que é ortogonal a e . Entretanto, podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 3:
Assim, qualquer múltiplo escalar de também será ortogonal a e .
Resposta
O vetor que é simultaneamente ortogonal aos vetores dados é , onde .