Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2 u+v e v-u, sendo dados u=(3,-1,-2) e v=(1,0,-3). Resp: x(3,7,1), x in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A questão pede para encontrar um vetor que seja ortogonal tanto a quanto a . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de vetores e ortogonalidade. Vamos precisar calcular o produto vetorial para encontrar um vetor que seja perpendicular aos dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores com os quais precisamos trabalhar:
a = 2u + v = 2(3, -1, -2) + (1, 0, -3) = (6, -2, -4) + (1, 0, -3) = (7, -2, -7)
b = v - u = (1, 0, -3) - (3, -1, -2) = (1-3, 0-(-1), -3-(-2)) = (-2, 1, -1)

Passo 3

Agora, para encontrar um vetor que seja ortogonal a ambos a times b = i & j & k 7 & -2 & -7 -2 & 1 & -1 e , usamos o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais.
Vamos calcular :
Explicando, , , e são os vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 4

Calculando o determinante:
a times b = i cdot [(-2)(-1) - (-7)(1)] - j cdot [(7)(-1) - (-7)(-2)] + k cdot [(7)(1) - (-2)(-2)]
= i cdot (2 + 7) - j cdot (-7 - 14) + k cdot (7 - 4)
= i cdot 9 - j cdot (-21) + k cdot 3
= (9, 21, 3)

Passo 5

Perceba que (9, 21, 3) = 3(3, 7, 1) é um vetor que é ortogonal a e . Entretanto, podemos simplificar esse vetor dividindo cada componente por 3:
Assim, qualquer múltiplo escalar de também será ortogonal a e .

Resposta

O vetor que é simultaneamente ortogonal aos vetores dados é , onde .

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