Para determinarmos a constante \rho na segunda Lei de Ohm
R=\rho \frac{L}{A}
foram medidos \bar{R} \pm \sigma_{\bar{R}}, \bar{L} \pm \sigma_{\bar{L}} e \bar{A} \pm \sigma_{\bar{A}}. Encontre a expressão de \rho o erro de \rho e a forma reduzida do erro de \rho: \frac{\sigma_{\rho}}{\rho}.

Passo 1

O enunciado pede para usar a segunda Lei de Ohm
R = \rho \,\frac{L}{A}
onde foram medidos
\bar R\pm\sigma_{\bar R},
\bar L\pm\sigma_{\bar L} e
\bar A\pm\sigma_{\bar A}.
Vamos (a) isolar \rho, (b) aplicar propagação de erros por derivadas parciais e (c) obter a forma reduzida \sigma_{\rho}/\rho.

Passo 2

Isolando \rho em
R = \rho\,\frac{L}{A}
temos
\rho = \frac{R\,A}{L}
e, usando os valores médios,
\rho = \frac{\bar R\,\bar A}{\bar L}.

Passo 3

Pela propagação de erros para \rho(R,A,L),
\sigma_{\rho}^2 = \Bigl(\frac{\partial\rho}{\partial R}\Bigr)^2\sigma_{\bar R}^2 + \Bigl(\frac{\partial\rho}{\partial A}\Bigr)^2\sigma_{\bar A}^2 + \Bigl(\frac{\partial\rho}{\partial L}\Bigr)^2\sigma_{\bar L}^2.
Calculando as derivadas:
\partial\rho/\partial R = A/L,
\partial\rho/\partial A = R/L,
\partial\rho/\partial L = -R\,A/L^2.
Logo,
\sigma_{\rho} = \sqrt{ \Bigl(\frac{\bar A}{\bar L}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar R}^2 + \Bigl(\frac{\bar R}{\bar L}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar A}^2 + \Bigl(\frac{\bar R\,\bar A}{\bar L^2}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar L}^2 }.

Passo 4

A incerteza relativa é
\frac{\sigma_{\rho}}{\rho} = \sqrt{ \Bigl(\frac{\sigma_{\bar R}}{\bar R}\Bigr)^{\!2} + \Bigl(\frac{\sigma_{\bar A}}{\bar A}\Bigr)^{\!2} + \Bigl(\frac{\sigma_{\bar L}}{\bar L}\Bigr)^{\!2} }.

Resposta

\displaystyle \rho = \frac{\bar R\,\bar A}{\bar L}
\displaystyle \sigma_{\rho} = \sqrt{ \Bigl(\frac{\bar A}{\bar L}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar R}^2 + \Bigl(\frac{\bar R}{\bar L}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar A}^2 + \Bigl(\frac{\bar R\,\bar A}{\bar L^2}\Bigr)^{\!2}\sigma_{\bar L}^2 }
\displaystyle \frac{\sigma_{\rho}}{\rho} = \sqrt{ \Bigl(\frac{\sigma_{\bar R}}{\bar R}\Bigr)^{\!2} + \Bigl(\frac{\sigma_{\bar A}}{\bar A}\Bigr)^{\!2} + \Bigl(\frac{\sigma_{\bar L}}{\bar L}\Bigr)^{\!2} }.

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