Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda matriz que é simultaneamente simétrica e triangular superior deve ser uma matriz diagonal. Vamos usar as definições de matriz simétrica e de matriz triangular superior para verificar se isso obriga todos os elementos fora da diagonal a serem zero.

Passo 2

Definições:
  • Uma matriz A=(a_{ij}) é simétrica se, para todo par de índices i,j,
a_{ij} = a_{ji}.
  • A matriz A é triangular superior se, sempre que i>j, temos
a_{ij} = 0.

Passo 3

Considere um elemento genérico a_{ij} com i\neq j. Há dois casos:
  1. Se i>j, a condição de triangular superior dá
a_{ij}=0.
  1. Se i<j, então por simetria
a_{ij}=a_{ji},
e como agora j>i, a triangularidade superior dá
a_{ji}=0.
Logo a_{ij}=0 também neste caso.

Passo 4

Como em ambos os casos i>j ou i<j o elemento a_{ij} é zero sempre que i\neq j, concluímos que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos.

Resposta

Verdadeira.

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