Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.
Uma matriz simétrica e triangular superior é diagonal.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda matriz que é simultaneamente simétrica e triangular superior deve ser uma matriz diagonal. Vamos usar as definições de matriz simétrica e de matriz triangular superior para verificar se isso obriga todos os elementos fora da diagonal a serem zero.
Passo 2
Definições:
- Uma matriz
é simétrica se, para todo par de índices ,
- A matriz
é triangular superior se, sempre que , temos
Passo 3
Considere um elemento genérico
com
. Há dois casos:
- Se
, a condição de triangular superior dá
- Se
, então por simetria
e como agora
, a triangularidade superior dá
Logo
também neste caso.
Passo 4
Como em ambos os casos
ou
o elemento
é zero sempre que
, concluímos que todos os elementos fora da diagonal principal são nulos.
Resposta
Verdadeira.