Determine o ângulo entre:
\pi_{1}: x+y+z+1=0 e \pi_{2}:-x-y-z+7=0

Passo 1

O enunciado dá duas retas (na verdade, dois planos) e pede o ângulo entre elas. As informações fornecidas são:
\pi_{1}: x+y+z+1=0
\pi_{2}:-x-y-z+7=0
Pergunta: determinar o ângulo entre \pi_{1} e \pi_{2}.

Passo 2

Primeiro, vou extrair dos coeficientes das equações os vetores normais a cada plano. Lembra: num plano na forma ax+by+cz+d=0, o vetor normal é (a,b,c). Então, pegando os coeficientes das equações dadas (estou usando os coeficientes diretamente das equações acima):
\text{vetor normal de }\pi_{1}:\; \mathbf{n}_{1}=(1,1,1)
\text{vetor normal de }\pi_{2}:\; \mathbf{n}_{2}=(-1,-1,-1)
Obs.: eu peguei esses vetores a partir das equações mostradas (os coeficientes de x,y,z).

Passo 3

Agora a ideia: o ângulo entre dois planos é definido a partir do ângulo entre seus vetores normais. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, a fórmula que relaciona o ângulo \theta entre eles com o produto escalar é
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (ou dot product), que para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) vale \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
  • \|\mathbf{u}\| é a norma (comprimento) de \mathbf{u}, dada por \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
    Essa fórmula nos dá o cosseno do ângulo entre os vetores. Depois usamos a função inversa \operatorname{arccos} para encontrar o ângulo.

Passo 4

Calculo o produto escalar \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}. Usando a definição:
\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=1\cdot(-1)+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)=-1-1-1=-3.

Passo 5

Calculo as normas \|\mathbf{n}_{1}\| e \|\mathbf{n}_{2},. Para \mathbf{n}_{1}=(1,1,1):
\|\mathbf{n}_{1}\|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}.
Para \mathbf{n}_{2}=(-1,-1,-1):
\|\mathbf{n}_{2}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}.

Passo 6

Agora aplico a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}}{\|\mathbf{n}_{1}\|\,\|\mathbf{n}_{2}\|}=\frac{-3}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}}=\frac{-3}{3}=-1.
Logo
\theta=\operatorname{arccos}(-1)=\pi\quad(\text{radianos})\quad\text{(ou }180^\circ\text{)}.
Isso significa que os vetores normais são colineares e apontam em direções opostas.

Passo 7

Interpretação para os planos: quando os vetores normais são colineares (paralelos ou antiparalelos), os planos são paralelos. O ângulo entre planos é tomado como o ângulo agudo entre seus normais, ou de forma prática podemos usar
\text{ângulo entre planos}=\min(\theta,\pi-\theta).â
No nosso caso \theta=\pi, então
\min(\pi,\pi-\pi)=\min(\pi,0)=0.
Portanto os planos são paralelos e o ângulo entre eles é 0. Observação adicional (útil para a prova): embora sejam paralelos, eles não coincidem, porque as equações implicam x+y+z=-1 para \pi_1 e x+y+z=7 para \pi_2; esses lados independentes mostram que são planos distintos.

Resposta

0 (ou seja, 0^\circ)