Determine o ângulo entre:
e
Passo 1
O enunciado dá duas retas (na verdade, dois planos) e pede o ângulo entre elas. As informações fornecidas são:
Pergunta: determinar o ângulo entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vou extrair dos coeficientes das equações os vetores normais a cada plano. Lembra: num plano na forma
, o vetor normal é
. Então, pegando os coeficientes das equações dadas (estou usando os coeficientes diretamente das equações acima):
Obs.: eu peguei esses vetores a partir das equações mostradas (os coeficientes de
).
Passo 3
Agora a ideia: o ângulo entre dois planos é definido a partir do ângulo entre seus vetores normais. Para vetores
e
, a fórmula que relaciona o ângulo
entre eles com o produto escalar é
Explicando cada termo:
-
é o produto escalar (ou dot product), que para e vale . -
é a norma (comprimento) de , dada por .
Essa fórmula nos dá o cosseno do ângulo entre os vetores. Depois usamos a função inversapara encontrar o ângulo.
Passo 4
Calculo o produto escalar
. Usando a definição:
Passo 5
Calculo as normas
e
,. Para
:
Para
:
Passo 6
Agora aplico a fórmula do cosseno:
Logo
Isso significa que os vetores normais são colineares e apontam em direções opostas.
Passo 7
Interpretação para os planos: quando os vetores normais são colineares (paralelos ou antiparalelos), os planos são paralelos. O ângulo entre planos é tomado como o ângulo agudo entre seus normais, ou de forma prática podemos usar
No nosso caso
, então
Portanto os planos são paralelos e o ângulo entre eles é
. Observação adicional (útil para a prova): embora sejam paralelos, eles não coincidem, porque as equações implicam
para
e
para
; esses lados independentes mostram que são planos distintos.