Determine o ângulo entre as retas r e s.
r:lx=-2-h y=h ; z=3-2 h h in R e s: x2=y+6=z-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço, chamadas r e s, e precisamos encontrar o ângulo entre elas. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com vetores direções das retas e usar a fórmula do cosseno para calcular o ângulo entre esses vetores.

Passo 2

Vamos identificar os vetores direções de cada reta.
Para a reta r, as equações paramétricas são:
x = -2 - h y = h z = 3 - 2h h in R
O vetor direção da reta r é dado pelos coeficientes de h, que são (-1, 1, -2). Então:
u = -1 1 -2
Para a reta s, a equação está na forma simétrica:
x2 = y + 6 = z - 1
Podemos reescrever isso em forma paramétrica usando um parâmetro k:
x = 2k y = k - 6 z = k + 1
O vetor direção da reta s é (2, 1, 1). Então:
v = 2 1 1

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno para encontrar o ângulo theta entre os vetores u e v:
cos theta = u cdot v|u| , |v|
Primeiro, calculamos o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (-1)(2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3
Em seguida, calculamos as magnitudes dos vetores:
|u| = raiz(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
|v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Agora plugamos esses valores na fórmula:
cos theta = -3raiz6 times raiz6 = -36 = -0,5

Passo 4

Para encontrar o ângulo theta, usamos o arco cosseno:
theta = arccos(-0,5)
Sabemos que arccos(-0,5) = 120^circ.

Resposta

O ângulo entre as retas r e s é de 120^circ.

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