Determine o ângulo \theta\left(0^{\circ} \leq \theta \leq 90^{\circ}\right) para a estrutura A B, de modo que a força horizontal de 400 N tenha uma componente de 500 N direcionada de A para C. Qual é a componente da força que atua ao longo do membro A B ? Considere \varphi=40^{\circ}.

Passo 1

O enunciado descreve um nó em A ligado a dois membros AB e AC. No nó há uma força externa horizontal de 400 N (para a direita). O membro AC faz ângulo \varphi=40^\circ com a horizontal e o membro AB faz ângulo \theta (a determinar). Queremos que a força interna em AC seja 500 N (tensão, direcionada de A para C) e, em seguida, calcular a força interna em AB. Vamos usar equilíbrio de forças no nó em A.

Passo 2

Desenhando o diagrama de corpo livre no nó A:
  • Força externa F_{\text{ext}}=400 N horizontal para a direita.
  • Força em AC, F_{AC}=500 N, atuando no nó na direção do membro (isto é, do nó em A em direção a C), com componentes
F_{AC,x}=500\cos\varphi,\quad F_{AC,y}=500\sin\varphi.
  • Força em AB, F_{AB} (sinal a determinar, positivo se tracionando), com componentes
F_{AB,x}=F_{AB}\cos\theta,\quad F_{AB,y}=F_{AB}\sin\theta.
Pela condição de equilíbrio vetorial no nó:
\sum F_x=0,\quad\sum F_y=0.

Passo 3

Escrevendo o equilíbrio vertical \sum F_y=0. Não há componente vertical externa, logo
500\sin\varphi + F_{AB}\sin\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad F_{AB}\sin\theta = -500\sin\varphi.
Dessa equação tiramos
F_{AB} = -\,\frac{500\,\sin\varphi}{\sin\theta}.
O sinal negativo indicará que AB ficará em compressão se obtivermos F_{AB}<0.

Passo 4

Escrevendo o equilíbrio horizontal \sum F_x=0:
400 + 500\cos\varphi + F_{AB}\cos\theta = 0.
Substituindo F_{AB} da equação vertical:
400 + 500\cos\varphi - \frac{500\,\sin\varphi}{\sin\theta}\,\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad 400 + 500\Bigl(\cos\varphi - \sin\varphi\cot\theta\Bigr)=0.

Passo 5

Isolando \theta, dividimos por 500 e rearranjamos:
\cos\varphi - \sin\varphi\cot\theta = -\frac{400}{500}=-0,8 \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi +0{,}8 = \sin\varphi\cot\theta.
Como \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}, temos
\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi+0{,}8} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta.
Substituindo \varphi=40^\circ:
\tan\theta = \frac{\sin40^\circ}{\cos40^\circ +0{,}8} = \frac{0{,}6428}{0{,}7660+0{,}8} =0{,}4106 \quad\Longrightarrow\quad \theta \approx 22{,}4^\circ.

Passo 6

Com \theta\approx22{,}4^\circ, voltamos à equação de F_{AB}:
F_{AB}=-\frac{500\,\sin40^\circ}{\sin22{,}4^\circ} =-\frac{500\cdot0{,}6428}{0{,}3805} \approx -845\text{ N}.
O sinal negativo significa que AB está em compressão, com magnitude 845 N.

Resposta

\theta \approx 22{,}4^\circ
Força em AB: 845 N (compressão)

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