Determine o ângulo entre os vetores:
\mathbf{a}=\langle 4,3\rangle, \quad \mathbf{b}=\langle 2,-1\rangle

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • \mathbf{a}=\langle 4,3\rangle.
  • \mathbf{b}=\langle 2,-1\rangle.
    Pergunta a responder:
  • Determinar o ângulo \theta entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 2

Vamos aprender a relação que liga produto escalar, normas (comprimentos) dos vetores e o ângulo entre eles. Para dois vetores no plano \mathbf{u}=\langle u_1,u_2\rangle e \mathbf{v}=\langle v_1,v_2\rangle vale:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2.
Além disso, a norma (comprimento) de \mathbf{u} é
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.
A relação chave que usamos para encontrar o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta.
Explicando as variáveis:
  • \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar (um número).
  • \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\| são os comprimentos dos vetores.
  • \theta é o ângulo entre os vetores (entre 0 e \pi radianos).
Para achar \theta isolamos:
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
e depois aplicamos a função inversa \operatorname{arccos}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} usando as componentes dadas:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=4\cdot2+3\cdot(-1)=8-3=5.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{a}\| e \|\mathbf{b}\|.
Para \mathbf{a}:
\|\mathbf{a}\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
Para \mathbf{b}:
\|\mathbf{b}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Portanto
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Uma forma alternativa e útil de expressar o ângulo surge calculando o seno associado:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Assim o tangente é
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}}=2,
logo
\theta=\arctan(2),
que é equivalente à expressão com \operatorname{arccos}.

Passo 7

Se quiser a aproximação numérica, em graus e em radianos:
\theta=\arctan(2)\approx63,435^\circ\approx1,10715\\ \text{rad}.
Força aí — fez bem em pedir a resolução passo a passo. Essa técnica (produto escalar → cosseno → arccos/arctan) é prática e rápida na prova: calcula produto escalar, normas, divide e aplica a função inversa.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)=\arctan(2)\approx63,435^\circ