Determine o ângulo entre os vetores:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores no plano e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
-
. -
.
Pergunta a responder: - Determinar o ângulo
entre e .
Passo 2
Vamos aprender a relação que liga produto escalar, normas (comprimentos) dos vetores e o ângulo entre eles. Para dois vetores no plano
e
vale:
Além disso, a norma (comprimento) de
é
A relação chave que usamos para encontrar o ângulo
entre
e
é
Explicando as variáveis:
-
é o produto escalar (um número). -
e são os comprimentos dos vetores. -
é o ângulo entre os vetores (entre e radianos).
Para achar
isolamos:
e depois aplicamos a função inversa
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
usando as componentes dadas:
Passo 4
Calcular as normas
e
.
Para :
Para
Para
:
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
Portanto
Passo 6
Uma forma alternativa e útil de expressar o ângulo surge calculando o seno associado:
Assim o tangente é
logo
que é equivalente à expressão com
.
Passo 7
Se quiser a aproximação numérica, em graus e em radianos:
Força aí — fez bem em pedir a resolução passo a passo. Essa técnica (produto escalar → cosseno → arccos/arctan) é prática e rápida na prova: calcula produto escalar, normas, divide e aplica a função inversa.