Determine a área da região limitada pelas curvas y = 2\cos x e y = \cos x, 0 \le x \le 2\pi.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=2\cos x e y=\cos x no intervalo 0\le x\le 2\pi. Informações dadas que vamos usar: as duas funções explícitas de x (sem parâmetros ocultos) e o intervalo de integração [0,2\pi]. A pergunta única é: qual é a área da região compreendida entre essas duas curvas nesse intervalo?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagar): a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x) sobre um intervalo [a,b] é
\text{área}=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx,á
onde |f(x)-g(x)| garante que sempre somamos um valor positivo (área não pode ser negativa). Aqui f(x) e g(x) são as alturas das curvas em cada x, e dx representa fatias infinitesimais de largura na direção x. No nosso caso f(x)=2\cos x e g(x)=\cos x, então f(x)-g(x)=\cos x. Porém é importante verificar onde f está acima de g e onde está abaixo, porque isso determina o sinal dentro do módulo e onde devemos quebrar o intervalo para integrar.

Passo 3

Encontrar pontos de intersecção (onde as curvas se encontram) para dividir o intervalo: resolvemos
2\cos x=\cos x \quad\Rightarrow\quad \cos x=0.
No intervalo 0\le x\le 2\pi isso ocorre em x=\dfrac{\pi}{2} e x=\dfrac{3\pi}{2}. Assim dividimos [0,2\pi] em três subintervalos [0,\tfrac{\pi}{2}], [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] e [\tfrac{3\pi}{2},2\pi].
Agora determinamos, em cada subintervalo, qual função é maior. Note que isso depende do sinal de \cos x:
  • Se \cos x>0 então 2\cos x>\cos x, logo 2\cos x está acima.
  • Se \cos x<0 então 2\cos x<\cos x, logo 2\cos x está abaixo.
Em [0,\tfrac{\pi}{2}] temos \cos x\ge0; em [\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}] temos \cos x\le0; em [\tfrac{3\pi}{2},2\pi] temos \cos x\ge0. Portanto a área será a soma de três integrais onde a diferença f-g muda de sinal:
\text{área}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\big(2\cos x-\cos x\big)\,dx +\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}\big(\cos x-2\cos x\big)\,dx +\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\big(2\cos x-\cos x\big)\,dx.á
Observe que cada integrando é simplesmente |\cos x|, então podemos também escrever
\text{área}=\int_{0}^{2\pi} |\cos x|\,dx.á

Passo 4

Calcular cada integral separadamente, usando a primitiva de \cos x, que é \sin x. Vamos fazer as três parcelas (vou mostrar cada avaliação):
  1. Primeira parcela:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\cos x-\cos x)\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\sin\frac{\pi}{2}-\sin 0=1-0=1.
  1. Segunda parcela:
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(\cos x-2\cos x)\,dx=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}(-\cos x)\,dx=-[\sin x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=-(\sin\frac{3\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2})= -(-1-1)=2.
  1. Terceira parcela:
\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}(2\cos x-\cos x)\,dx=\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos x\,dx=[\sin x]_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}=\sin 2\pi-\sin\frac{3\pi}{2}=0-(-1)=1.

Passo 5

Somamos as três contribuições para obter a área total:
\text{área}=1+2+1=4.á
(Como atalho, por simetria e periodicidade também se pode notar que \int_0^{2\pi}|\cos x|\,dx=4, mas aqui fizemos a conta detalhada.)

Resposta

4

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