Determine a área da região limitada pelas curvas
e
,
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
no intervalo
. Informações dadas que vamos usar: as duas funções explícitas de
(sem parâmetros ocultos) e o intervalo de integração
. A pergunta única é: qual é a área da região compreendida entre essas duas curvas nesse intervalo?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagar): a área entre duas curvas
e
sobre um intervalo
é
onde
garante que sempre somamos um valor positivo (área não pode ser negativa). Aqui
e
são as alturas das curvas em cada
, e
representa fatias infinitesimais de largura na direção
. No nosso caso
e
, então
. Porém é importante verificar onde
está acima de
e onde está abaixo, porque isso determina o sinal dentro do módulo e onde devemos quebrar o intervalo para integrar.
Passo 3
Encontrar pontos de intersecção (onde as curvas se encontram) para dividir o intervalo: resolvemos
No intervalo
isso ocorre em
e
. Assim dividimos
em três subintervalos
,
e
.
Agora determinamos, em cada subintervalo, qual função é maior. Note que isso depende do sinal de
:
- Se
então , logo está acima. - Se
então , logo está abaixo.
Em
temos
; em
temos
; em
temos
. Portanto a área será a soma de três integrais onde a diferença
muda de sinal:
Observe que cada integrando é simplesmente
, então podemos também escrever
Passo 4
Calcular cada integral separadamente, usando a primitiva de
, que é
. Vamos fazer as três parcelas (vou mostrar cada avaliação):
- Primeira parcela:
- Segunda parcela:
- Terceira parcela:
Passo 5
Somamos as três contribuições para obter a área total:
(Como atalho, por simetria e periodicidade também se pode notar que
, mas aqui fizemos a conta detalhada.)