Determine a área da região limitada pelas curvas x = y^2 e x = 4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas x = y^2 e x = 4. Informações dadas: as duas curvas são a parábola x=y^2 (abre para a direita) e a reta vertical x=4. A região limitada é a porção do plano entre essas duas curvas.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites da região. Eles satisfazem simultaneamente x=y^2 e x=4. Substituindo,
y^2 = 4.
Resolvendo para y,
y = \pm 2.
Logo a região está contida entre y=-2 e y=2.

Passo 3

Escolhemos um método de integração. Aqui é mais simples integrar em relação a y (fatias horizontais): para cada y fixo entre -2 e 2 a região vai de x igual à parábola até x igual a 4. A fórmula geral para a área de uma região entre duas curvas expressas como x = x_\text{direita}(y) e x = x_\text{esquerda}(y) é
A = \int_{y=a}^{y=b} \bigl(x_\text{direita}(y) - x_\text{esquerda}(y)\bigr)\,dy,
onde a e b são os limites em y. Aqui x_\text{direita}(y)=4 e x_\text{esquerda}(y)=y^2, com a=-2 e b=2.

Passo 4

Montamos a integral que dá a área:
A = \int_{-2}^{2} \bigl(4 - y^2\bigr)\,dy.

Passo 5

Calculemos a integral passo a passo. Uma primitiva de 4 - y^2 é 4y - \dfrac{y^3}{3}. Portanto,
A = \left[4y - \frac{y^3}{3}\right]_{-2}^{2}.
Avaliaremos nos limites.

Passo 6

Avaliação no limite superior y=2:
4(2) - \frac{2^3}{3} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24-8}{3} = \frac{16}{3}.
Avaliação no limite inferior y=-2:
4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3} = \frac{-24+8}{3} = -\frac{16}{3}.
Subtraindo:
A = \frac{16}{3} - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{32}{3}.

Passo 7

Cheque rápido pela simetria: a função integranda 4-y^2 é par, os limites são simétricos, então A = 2\int_{0}^{2}(4-y^2)\,dy. Fazendo isso dá o mesmo resultado 32/3, confirmação de que não houve erro.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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