Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Informações dadas: as duas curvas são a parábola
(abre para a direita) e a reta vertical
. A região limitada é a porção do plano entre essas duas curvas.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre as curvas para saber os limites da região. Eles satisfazem simultaneamente
e
. Substituindo,
Resolvendo para
,
Logo a região está contida entre
e
.
Passo 3
Escolhemos um método de integração. Aqui é mais simples integrar em relação a
(fatias horizontais): para cada
fixo entre
e
a região vai de
igual à parábola até
igual a
. A fórmula geral para a área de uma região entre duas curvas expressas como
e
é
onde
e
são os limites em
. Aqui
e
, com
e
.
Passo 4
Montamos a integral que dá a área:
Passo 5
Calculemos a integral passo a passo. Uma primitiva de
é
. Portanto,
Avaliaremos nos limites.
Passo 6
Avaliação no limite superior
:
Avaliação no limite inferior
:
Subtraindo:
Passo 7
Cheque rápido pela simetria: a função integranda
é par, os limites são simétricos, então
. Fazendo isso dá o mesmo resultado
, confirmação de que não houve erro.