Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^4 - 2x^2 + 1 e y = 1 - x^2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y_1 = x^4 - 2x^2 + 1
e
y_2 = 1 - x^2.
Para isso precisamos:
  1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo y_1=y_2.
  2. Determinar, no intervalo entre as interseções, qual curva fica acima (função superior) e qual fica abaixo (função inferior).
  3. Calcular a área pela integral
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{sup}}(x)-y_{\text{inf}}(x)\bigr)\,dx.Á

Passo 2

Encontramos as interseções resolvendo
x^4 - 2x^2 + 1 = 1 - x^2
\Longrightarrow x^4 -2x^2 +1 -1 + x^2 =0
\Longrightarrow x^4 - x^2 =0
\Longrightarrow x^2(x^2-1)=0
\Longrightarrow x=0,\quad x=\pm1.
Logo os limites de integração são x=-1 e x=1.

Passo 3

Para -1<x<1 temos
y_2 = 1 - x^2>0, \quad y_1 = x^4 -2x^2+1 = (1-x^2)^2.
Como 0<1-x^2<1 então (1-x^2)^2<1-x^2. Portanto
y_{\text{sup}}=1-x^2, \quad y_{\text{inf}}=x^4-2x^2+1.

Passo 4

A área é
\int_{-1}^{1}\bigl[(1 - x^2)-\bigl(x^4-2x^2+1\bigr)\bigr]dx =\int_{-1}^{1}\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx.
Como o integrando é par,
\int_{-1}^{1}(x^2 - x^4)\,dx =2\int_{0}^{1}(x^2 - x^4)\,dx =2\Bigl[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Bigr) =2\cdot\frac{2}{15} =\frac{4}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{15}

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