Determine a área da região limitada pelas curvas y = x^3 - x e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^3 - x e y = 0. O conteúdo é cálculo de área usando integrais definidas. Vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção resolvendo x^3 - x = 0.
  2. Determinar em quais intervalos a função está acima ou abaixo de zero.
  3. Integrar o valor absoluto de x^3 - x nesses intervalos.

Passo 2

Para achar as interseções com y=0, resolvemos
x^3 - x = 0
fatorando:
x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1) = 0
Logo, as raízes são x=-1, x=0 e x=1.

Passo 3

Precisamos saber o sinal de f(x)=x^3 - x em cada intervalo:
  • Em [-1,0], por exemplo em x=-\tfrac12, temos f(-\tfrac12)=(-\tfrac12)^3-(-\tfrac12)=\tfrac38>0. Ou seja, f(x)\ge0 em [-1,0].
  • Em [0,1], por exemplo em x=\tfrac12, temos f(\tfrac12)=(\tfrac12)^3-\tfrac12=-\tfrac38<0. Ou seja, f(x)\le0 em [0,1].

Passo 4

A área pedida é
\int_{-1}^{0}\bigl(x^3 - x\bigr)\,dx \;+\; \int_{0}^{1}\bigl[-\bigl(x^3 - x\bigr)\bigr]\,dx
pois subtraímos a parte negativa para obtermos área positiva.

Passo 5

Calculemos a primitiva de x^3 - x:
\int\bigl(x^3 - x\bigr)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}.
Aí,
\int_{-1}^{0}(x^3 - x)\,dx =\Bigl[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} =\bigl(0-0\bigr)-\Bigl(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\Bigr) =0-(-\tfrac14) =\tfrac14.

Passo 6

Para a segunda integral, a primitiva de -\bigl(x^3 - x\bigr) é
\int\bigl(-x^3 + x\bigr)\,dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}.
Logo,
\int_{0}^{1}\bigl[-(x^3 - x)\bigr]\,dx =\Bigl[-\frac{x^4}{4}+\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\Bigl(-\tfrac14+\tfrac12\Bigr)-0 =\tfrac14.

Passo 7

Somando as duas áreas:
A = \tfrac14 + \tfrac14 = \tfrac12.

Resposta

A área da região é \tfrac12.

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