Determine a área da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo é cálculo de área usando integrais definidas. Vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção resolvendo
. - Determinar em quais intervalos a função está acima ou abaixo de zero.
- Integrar o valor absoluto de
nesses intervalos.
Passo 2
Para achar as interseções com
, resolvemos
fatorando:
Logo, as raízes são
,
e
.
Passo 3
Precisamos saber o sinal de
em cada intervalo:
- Em
, por exemplo em , temos . Ou seja, em . - Em
, por exemplo em , temos . Ou seja, em .
Passo 4
A área pedida é
pois subtraímos a parte negativa para obtermos área positiva.
Passo 5
Calculemos a primitiva de
:
Aí,
Passo 6
Para a segunda integral, a primitiva de
é
Logo,
Passo 7
Somando as duas áreas:
Resposta
A área da região é
.