Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + x + 2 e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela parábola y=-x^2+x+2 e pelo eixo y=0. Esse é um problema de cálculo de integrais definidas para área sob a curva. Precisamos:
  1. Encontrar onde a curva cruza o eixo x (raízes da função).
  2. Montar a integral de -x^2+x+2 entre essas raízes.
  3. Calcular o valor dessa integral.

Passo 2

As interseções ocorrem quando -x^2+x+2=0. Resolvendo:
-x^2+x+2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - x -2=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}.
Logo as raízes são x=-1 e x=2.

Passo 3

A área procurada é
\int_{-1}^{2} \bigl(-x^2 + x +2\bigr)\,dx,
pois a parábola fica acima do eixo x nesse intervalo.

Passo 4

Vamos achar uma antiderivada de -x^2+x+2:
\int \bigl(-x^2+x+2\bigr)\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + C.

Passo 5

Agora avaliamos de -1 a 2:
\Bigl[-\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}+2x\Bigr]_{-1}^{2} =\Bigl(-\tfrac{8}{3}+2+4\Bigr) -\Bigl(+\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{2}-2\Bigr) =\Bigl(\tfrac{10}{3}\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{7}{6}\Bigr) =\tfrac{10}{3}+\tfrac{7}{6} =\tfrac{20+7}{6} =\tfrac{27}{6} =\tfrac{9}{2}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{9}{2}.

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