Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 2x + 3 e y = 0.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos a área da região do plano limitada pela parábola
y=-x^2+2x+3
e pela reta y=0. Conteúdo aplicado: para obter a área entre uma curva y=f(x) que fica acima do eixo x e o próprio eixo, usamos a integral definida
\text{área}=\int_{a}^{b}f(x)\,dx,á
onde a e b são os pontos de interseção de f(x) com o eixo x.

Passo 2

Encontrar os pontos onde a parábola cruza o eixo x. Isso ocorre quando
-y^2+2x+3=0\quad\Longrightarrow\quad -x^2+2x+3=0.
Colocando em forma padrão:
x^2-2x-3=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} =\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2} =\frac{2\pm4}{2}.
Logo os zeros são
x=-1 \quad\text{e}\quad x=3.

Passo 3

Identificamos que, para x entre -1 e 3, a parábola satisfaz y=-x^2+2x+3\ge0. Esses serão os limites de integração a=-1 e b=3.

Passo 4

Escrevemos a integral da área:
\text{área} =\int_{-1}^{3}\bigl(-x^2+2x+3\bigr)\,dx.á

Passo 5

Calculamos a integral indefinida:
\int\bigl(-x^2+2x+3\bigr)\,dx =-\frac{x^3}{3}+x^2+3x + C.
Agora avaliamos de -1 a 3:
\Bigl[-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\Bigr]_{-1}^{3} =\Bigl(-\frac{27}{3}+9+9\Bigr) -\Bigl(-\frac{(-1)^3}{3}+1-3\Bigr) =\,\bigl(-9+18\bigr)-\bigl(\tfrac{1}{3}-2\bigr) =9-\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr) =9+\frac{5}{3} =\frac{27+5}{3} =\frac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \displaystyle \tfrac{32}{3}.

Exercícios relacionados