Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 4 e y = 0.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da região limitada pela parábola y=-x^2+4 e pela reta y=0. O conteúdo necessário é cálculo de área usando integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos de interseção entre as curvas resolvendo
-x^2+4=0.
Isso dá
x^2=4\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.

Passo 3

Pela definição, a área entre duas curvas y=f(x) (superior) e y=g(x) (inferior) de x=a a x=b é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=-x^2+4, g(x)=0, a=-2, b=2.

Passo 4

Montamos e calculamos a integral
\int_{-2}^{2}\bigl(-x^2+4\bigr)\,dx.
A primitiva de -x^2+4 é
F(x)=-\frac{x^3}{3}+4x.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
F(2)-F(-2) =\Bigl(-\tfrac{2^3}{3}+4\cdot2\Bigr) -\Bigl(-\tfrac{(-2)^3}{3}+4\cdot(-2)\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{8}{3}+8\Bigr) -\Bigl(\tfrac{8}{3}-8\Bigr) =\tfrac{16}{3}-\bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr) =\tfrac{32}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{32}{3}.

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