Determine a área da região limitada pelas curvas y = -x^2 + 1 e y = 0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y=-x^2+1 e y=0. Esse problema envolve cálculo de área entre curvas usando integração definida.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção resolvendo
-x^2+1=0
Logo,
x^2=1\quad\Longrightarrow\quad x=\pm1.

Passo 3

A área A da região fica dada pela integral de y_{\text{superior}}-y_{\text{inferior}} de x=-1 a x=1:
A=\int_{-1}^{1}\bigl[(-x^2+1)-0\bigr]\,dx =\int_{-1}^{1}(-x^2+1)\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral. Uma primitiva de -x^2+1 é
-\tfrac{x^3}{3}+x.
Portanto,
A=\left[-\tfrac{x^3}{3}+x\right]_{-1}^{1} =\Bigl(-\tfrac{1}{3}+1\Bigr)-\Bigl(\tfrac{1}{3}-1\Bigr) =\tfrac{2}{3}-(-\tfrac{2}{3}) =\tfrac{4}{3}.

Resposta

A área da região é \tfrac{4}{3}.

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