Determine a área da superfície.
A parte da superfície z=1+3 x+3 y^{2} que está acima do triângulo com vértices (0,0),(0,1) e (2,1)

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície definida por
z = 1 + 3x + 3y^2
que está acima do triângulo de vértices (0,0), (0,1) e (2,1).
O conteúdo é cálculo de área de superfície de um gráfico z = f(x,y). Vamos precisar da fórmula
A = \iint_{R} \sqrt{1 + \bigl(f_x\bigr)^2 + \bigl(f_y\bigr)^2}\,dA,
onde R é a projeção no plano xy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f(x,y)=1+3x+3y^2.
f_x = \frac{\partial}{\partial x}(1+3x+3y^2) = 3,
f_y = \frac{\partial}{\partial y}(1+3x+3y^2) = 6y.

Passo 3

Substituindo na fórmula da área da superfície, o integrando fica
\sqrt{1 + (f_x)^2 + (f_y)^2} = \sqrt{1 + 3^2 + (6y)^2} = \sqrt{10 + 36y^2}.

Passo 4

Vamos descrever a região R. O triângulo tem aresta vertical em x=0 de y=0 a y=1 e hipotenusa ligando (0,0) a (2,1). A equação dessa hipotenusa é
x = 2y.
Logo
R = \{(x,y)\mid 0\le y\le1,\;0\le x\le2y\}.

Passo 5

O integral duplo vira um simples em y, pois o integrando não depende de x:
A = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{2y} \sqrt{10 + 36y^2}\,dx\,dy = \int_{0}^{1} \Bigl(\int_{0}^{2y}dx\Bigr)\sqrt{10 + 36y^2}\,dy = \int_{0}^{1} 2y\,\sqrt{10 + 36y^2}\,dy.

Passo 6

Para calcular
\int_{0}^{1} 2y\,\sqrt{10 + 36y^2}\,dy
fazemos u = 10 + 36y^2, então du = 72y\,dy, ou seja 2y\,dy = \tfrac{1}{36}\,du. Assim
\int 2y\,\sqrt{10 + 36y^2}\,dy = \frac{1}{36}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{36}\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{54}\,u^{3/2}.
Voltando aos limites y=0\mapsto u=10 e y=1\mapsto u=46, obtemos
A = \frac{1}{54}\Bigl(46^{3/2} - 10^{3/2}\Bigr) = \frac{1}{54}\bigl(46\sqrt{46} - 10\sqrt{10}\bigr).

Resposta

A = \frac{1}{54}\bigl(46\sqrt{46} - 10\sqrt{10}\bigr).

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