1. Determine a e b para que o sistema \left\{\begin{array}{l}6 x+a y=12 \\\\ 4 x+4 y=b\end{array}\right. seja indeterminado.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a\) e \(b\) para que o sistema \[\begin{cases} 6x + a y = 12\\[4pt] 4x + 4y = b \end{cases}
seja indeterminado.
Informações dadas: os coeficientes das incógnitas nas duas equações são 6,\;a\] na primeira e \(4,\;4 na segunda; os termos independentes são 12 e b. O objetivo é achar os valores de a e b que tornam o sistema indeterminado (ou seja, com infinitas soluções).]

Passo 2

O que significa “sistema indeterminado” aqui? Para um sistema de duas equações lineares em duas incógnitas, ser indeterminado quer dizer que as duas equações representam a mesma reta — ou seja, uma equação é múltiplo escalar da outra. Em termos de coeficientes isso exige proporcionalidade entre todos os coeficientes, inclusive os termos independentes. Formalmente, deve existir um escalar k tal que:
6 = k\cdot 4,\qquad a = k\cdot 4,\qquad 12 = k\cdot b.
Outra maneira equivalente de escrever essa condição é:
\frac{6}{4} = \frac{a}{4} = \frac{12}{b}.
Essa é a condição necessária e suficiente para que as duas equações sejam o mesmo múltiplo (logo representem a mesma reta e o sistema tenha infinitas soluções).

Passo 3

Calcule a razão conhecida \dfrac{6}{4}. Simplificando:
\frac{6}{4} = \frac{3}{2}.

Passo 4

Use a igualdade das razões para encontrar a. Temos \dfrac{a}{4} = \dfrac{3}{2}. Resolvendo:
a = 4\cdot\frac{3}{2} = 4\cdot 1{,}5 = 6.

Passo 5

Agora encontre b usando \dfrac{12}{b} = \dfrac{3}{2}. Resolva por produto em cruz:
12\cdot 2 = 3\cdot b \quad\Rightarrow\quad 24 = 3b \quad\Rightarrow\quad b = \frac{24}{3} = 8.

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): substituindo a=6\) e \(b=8\) obtemos o sistema \[\begin{cases} 6x+6y=12\\[4pt] 4x+4y=8 \end{cases}
Dividindo a primeira equação por 6\] e a segunda por \(4 ambas ficam
x+y=2,
logo são a mesma reta e o sistema tem infinitas soluções (por exemplo x=t,\; y=2-t para qualquer t\in\mathbb{R}). Portanto os valores encontrados estão corretos.]

Resposta

a=6
b=8

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