Determine uma base e calcule a dimensão para os espaços vetoriais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar uma base para
. - Calcular a dimensão de
.
Informações relevantes fornecidas:
-
é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a . - A condição que define
é , ou seja, os polinômios de grau que anulam em .
Passo 2
Primeiro vamos escrever um polinômio genérico de
. Seja
onde
. A condição
impõe uma equação sobre os coeficientes; vamos achá‑la.
Passo 3
Aplicando a condição
ao polinômio genérico:
Como queremos
, obtemos a relação
Dessa relação podemos isolar
:
Passo 4
Substituímos
em
para escrever qualquer
em termos de
e
:
Note que as expressões
e
são polinômios de grau
e que a combinação acima mostra que todo polinômio de
é combinação linear desses dois polinômios.
Passo 5
Da fórmula do passo anterior vemos que
Para simplificar a base, observar que
e que também é conveniente usar
por ser um polinômio fatorado por
:
Podemos relacionar os geradores anteriores com
e
. Vamos mostrar que
também gera
e é linearmente independente.
Passo 6
Mostrando que
gera
. Tome
com
e
. Procuramos
tais que
Expandindo a combinação:
Comparando coeficientes com
, obtemos o sistema
Da primeira equação
. Da segunda
. Verificamos a terceira:
, que coincide com
. Assim existem
reais (especificamente
e
) que representam
. Logo
gera
.
Passo 7
Mostrando independência linear de
. Suponha que existam
tais que
como polinômio nulo. Expandindo:
Isso implica que todos os coeficientes são zero:
Da primeira
. Então
. Assim
, provando que os dois polinômios são linearmente independentes.
Passo 8
Concluímos que
é um conjunto gerador e linearmente independente, ou seja, é uma base de
. Como a base tem dois elementos, a dimensão de
é
.
Resposta
Base: