Determine uma base e calcule a dimensão para os espaços vetoriais abaixo:
V=\left\{p(x) \in P_{2}(\mathbb{R}) ; p(1)=0\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço
V=\left\{p(x)\in P_{2}(\mathbb{R}) \; ;\; p(1)=0\right\}.
As perguntas que precisamos responder são:
  • Determinar uma base para V.
  • Calcular a dimensão de V.
Informações relevantes fornecidas:
  • P_{2}(\mathbb{R}) é o espaço dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a 2.
  • A condição que define V é p(1)=0, ou seja, os polinômios de grau \leq2 que anulam em x=1.

Passo 2

Primeiro vamos escrever um polinômio genérico de P_{2}(\mathbb{R}). Seja
p(x)=a x^{2}+b x+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R}. A condição p(1)=0 impõe uma equação sobre os coeficientes; vamos achá‑la.

Passo 3

Aplicando a condição p(1)=0 ao polinômio genérico:
p(1)=a\cdot1^{2}+b\cdot1+c=a+b+c.
Como queremos p(1)=0, obtemos a relação
a+b+c=0.
Dessa relação podemos isolar c:
c=-a-b.

Passo 4

Substituímos c=-a-b em p(x) para escrever qualquer p\in V em termos de a e b:
p(x)=a x^{2}+b x+(-a-b)=a(x^{2}-1)+b(x-1).
Note que as expressões x^{2}-1 e x-1 são polinômios de grau \leq2 e que a combinação acima mostra que todo polinômio de V é combinação linear desses dois polinômios.

Passo 5

Da fórmula do passo anterior vemos que
V=\operatorname{span}\{\,x^{2}-1,\;x-1\,\}.
Para simplificar a base, observar que x^{2}-1=(x-1)(x+1) e que também é conveniente usar x^{2}-x por ser um polinômio fatorado por (x-1):
x^{2}-x = x(x-1).
Podemos relacionar os geradores anteriores com x-1 e x^{2}-x. Vamos mostrar que \{x-1,\;x^{2}-x\} também gera V e é linearmente independente.

Passo 6

Mostrando que \{x-1,\;x^{2}-x\} gera V. Tome p\in V com p(x)=a x^{2}+b x+c e c=-a-b. Procuramos \alpha,\beta tais que
p(x)=\alpha(x-1)+\beta(x^{2}-x).
Expandindo a combinação:
\alpha(x-1)+\beta(x^{2}-x)=\beta x^{2}+(\alpha-\beta)x-\alpha.
Comparando coeficientes com p(x)=a x^{2}+b x +(-a-b), obtemos o sistema
\beta=a,\qquad \alpha-\beta=b,\qquad -\alpha=-a-b.
Da primeira equação \beta=a. Da segunda \alpha=b+\beta=b+a. Verificamos a terceira: -\alpha=-(a+b), que coincide com -a-b. Assim existem \alpha,\beta reais (especificamente \beta=a e \alpha=a+b) que representam p. Logo \{x-1,\;x^{2}-x\} gera V.

Passo 7

Mostrando independência linear de \{x-1,\;x^{2}-x\}. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(x-1)+\beta(x^{2}-x)=0
como polinômio nulo. Expandindo:
\beta x^{2}+(\alpha-\beta)x-\alpha \equiv 0.
Isso implica que todos os coeficientes são zero:
\beta=0,\qquad \alpha-\beta=0,\qquad -\alpha=0.
Da primeira \beta=0. Então \alpha-\beta= \alpha=0. Assim \alpha=\beta=0, provando que os dois polinômios são linearmente independentes.

Passo 8

Concluímos que \{x-1,\;x^{2}-x\} é um conjunto gerador e linearmente independente, ou seja, é uma base de V. Como a base tem dois elementos, a dimensão de V é 2.

Resposta

Base: \{\,x-1,\;x^{2}-x\,\}
\dim(V)=2