Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais.
$W=\left[t^{3}+t^{2}, t^{2}-2 t, 1\right]$

O enunciado define o subespaço

W

do espaço vetorial

\mathcal P_3

(polinômios de grau

<=3

) gerado pelos polinômios

p_1(t)=t^3+t^2,\quad p_2(t)=t^2-2t,\quad p_3(t)=1.

Queremos determinar uma base de

W

e sua dimensão.

Representamos

p_1,p_2,p_3

em coordenadas relativas à base canônica

\{t^3,t^2,t,1\}

p_1\mapsto (1,1,0,0),\quad p_2\mapsto (0,1,-2,0),\quad p_3\mapsto (0,0,0,1).

Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:

A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Aplicando eliminação de Gauss em

A

vemos que já está em forma escalonada com pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (linhas 1, 2 e 4). Logo

\mathrm{rank}(A)=3,

o que mostra que

\{p_1,p_2,p_3\}

é um conjunto linearmente independente.

Como

W=\mathrm{span}\{p_1,p_2,p_3\}

e esses vetores são independentes, eles formam uma base de

W

. Portanto

\dim(W)=3.

Uma base de

W

\bigl\{\,t^3+t^2,\;t^2-2t,\;1\,\bigr\},

\dim(W)=3

Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais. W=\left[t^{3}+t^{2}, t^{2}-2 t, 1\right]