Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais.
$W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; z=w\right.$ e $\left.y=2 x\right\}$

O enunciado define o subespaço

W = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^{4}\mid y=2x,\;z=w\},

ou seja, temos duas restrições lineares em

(x,y,z,w)

. Para encontrar uma base e a dimensão de

W

, vamos resolver essas igualdades, expressar as coordenadas livres em parâmetros e obter vetores geradores.

As duas equações são

y = 2x

z = w.

Logo, qualquer vetor de

W

pode ser escrito como

(x,y,z,w) = (x,\,2x,\,w,\,w).

Vamos escolher parâmetros livres para as variáveis independentes. Seja

t = x, \quad s = w.

Então

(x,y,z,w) = (t,\,2t,\,s,\,s) = t\,(1,2,0,0) \;+\; s\,(0,0,1,1).

Os vetores

(1,2,0,0) \quad\text{e}\quad (0,0,1,1)

são linearmente independentes e geram todo

W

. Portanto eles formam uma base de

W

e o número de vetores na base, que é a dimensão de

W

, vale

2

Uma base de

W

\{\, (1,2,0,0),\;(0,0,1,1)\},

e a dimensão de

W

2

Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais. W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; z=w\right. e \left.y=2 x\right\}