Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço vetorial , que consiste em todas as matrizes da forma:
Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e precisamos encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos identificar vetores (no caso, matrizes) que possam gerar todo o subespaço e que sejam linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar uma matriz genérica de usando os parâmetros , e :
Aqui, estamos escrevendo a matriz como uma combinação linear das matrizes:
Passo 3
Agora, vamos verificar se as matrizes , e são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear igual a zero:
Substituindo:
Isso resulta no sistema de equações:
Como a única solução é , as matrizes são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos três matrizes linearmente independentes que geram todo o subespaço 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 , 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , elas formam uma base para . Portanto, a base de é:
Passo 5
A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem três matrizes, a dimensão de dim(W1) = 3 é: