Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
W1=(llla & b & c c & b & a) ; a, b, c in R subset M2 times 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar uma base e a dimensão do subespaço vetorial W1 = a & b & c c & b & a ; a, b, c in R , que consiste em todas as matrizes da forma:
Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais e precisamos encontrar uma base para e determinar sua dimensão. Para isso, vamos identificar vetores (no caso, matrizes) que possam gerar todo o subespaço e que sejam linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar uma matriz genérica de a & b & c c & b & a = a 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 + b 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 + c 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 usando os parâmetros A = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , B = 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 , C = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , e :
Aqui, estamos escrevendo a matriz como uma combinação linear das matrizes:

Passo 3

Agora, vamos verificar se as matrizes k1A + k2B + k3C = 0 , k1 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 + k2 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 + k3 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 e k1 = 0 k2 = 0 k3 = 0 são linearmente independentes. Para isso, consideramos a combinação linear igual a zero:
Substituindo:
Isso resulta no sistema de equações:
Como a única solução é , as matrizes são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos três matrizes linearmente independentes que geram todo o subespaço 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 , 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , elas formam uma base para . Portanto, a base de é:

Passo 5

A dimensão de um subespaço vetorial é o número de vetores na sua base. Como nossa base tem três matrizes, a dimensão de dim(W1) = 3 é:

Resposta

A base de 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 , 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 , 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 é:
e a dimensão de é 3.

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