Determine uma base do espaço gerado pelos vetores de :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base do espaço gerado pelos vetores e em . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaço vetorial e base. Para resolver, vamos precisar verificar quais desses vetores são linearmente independentes e, assim, formar uma base.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
Agora, vamos realizar operações de linha para trazer essa matriz para a forma de escada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm os pivôs, ou seja, as colunas que correspondem aos vetores que formam a base.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras para zerar os elementos abaixo do primeiro 1:
Agora que a matriz está na forma de escada, podemos identificar os pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Isso significa que todos os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Resposta
Uma base do espaço gerado pelos vetores é formada por 1 1 1 2 , 1 0 -1 -1 , 1 1 -1 0 , 1 -1 -1 -2 e :