Determine uma base do espaço gerado pelos vetores de R^4 :
v1=(l 1 1 1 2 ), v2=(c 1 0 -1 -1 ), v3=(c 1 1 -1 0 ), v4=(c 1 -1 -1 -2 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma base do espaço gerado pelos vetores e em . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaço vetorial e base. Para resolver, vamos precisar verificar quais desses vetores são linearmente independentes e, assim, formar uma base.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores em uma matriz, colocando cada vetor como uma coluna:
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & -1 1 & -1 & -1 & -1 2 & -1 & 0 & -2

Passo 3

Agora, vamos realizar operações de linha para trazer essa matriz para a forma de escada. Isso nos ajudará a identificar quais colunas contêm os pivôs, ou seja, as colunas que correspondem aos vetores que formam a base.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das outras para zerar os elementos abaixo do primeiro 1:
1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & 0 & -2 0 & -2 & -2 & -2 0 & -3 & -1 & -4

Passo 4

Em seguida, vamos focar na segunda coluna. Multiplicamos a segunda linha por -1 para facilitar:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & -2 & -2 & -2 0 & -3 & -1 & -4
Agora, adicionamos 2 vezes a segunda linha à terceira e 3 vezes à segunda linha à quarta para zerar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & -2 & 2 0 & 0 & -1 & 2

Passo 5

Agora, vamos para a terceira coluna. Podemos dividir a terceira linha por -2 para facilitar:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & -1 & 2
Em seguida, adicionamos a terceira linha à quarta para zerar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1

Passo 6

Agora que a matriz está na forma de escada, podemos identificar os pivôs nas colunas 1, 2, 3 e 4. Isso significa que todos os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.

Resposta

Uma base do espaço gerado pelos vetores é formada por 1 1 1 2 , 1 0 -1 -1 , 1 1 -1 0 , 1 -1 -1 -2 e :

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