Determine uma base para os espaços $V$ dados a seguir, contendo os respectivos conjuntos de vetores.
$V=P_{2}(\mathbb{R}), \quad S=\{t+1,2 t-1\}$ .

O espaço

V

P_2(\mathbb{R})

com dimensão 3 e temos o conjunto

S = \{\,t+1,\;2t-1\}.

Precisamos encontrar uma base de

V

que contenha

S

, ou seja, estender

S

a um conjunto de 3 vetores linearmente independentes.

Verificamos que os vetores em

S\) são linearmente independentes. Suponha \[a(t+1) + b(2t-1) = 0

P_2(\mathbb{R})

. Isso significa

(a + 2b)\,t + (a - b) = 0\quad\text{para todo \(t\),}

logo igualando coeficientes,

\begin{cases} a + 2b = 0,\\\ a - b = 0. \end{cases}

Da segunda equação vem

a=b\]; substituindo na primeira, \(a+2a=3a=0

, logo

a=0

b=0

. Portanto,

S

é independente.

Como

\dim(P_2(\mathbb{R}))=3

\#S=2

, o subespaço gerado por

S

tem dimensão 2 e não é todo

V

. Precisamos de um terceiro vetor em

P_2(\mathbb{R})

que não esteja em

\operatorname{span}(S)

Escolhemos o polinômio

p(t)=t^2

. Qualquer combinação

a(t+1)+b(2t-1)

não produz termo em

t^2

, enquanto

t^2

tem coeficiente 1 em

t^2

. Logo

t^2\notin\operatorname{span}(S)

, e assim

\{\,t+1,\;2t-1,\;t^2\}

é um conjunto de 3 vetores independentes em

P_2(\mathbb{R})

\{\,t+1,\;2t-1,\;t^2\}

Determine uma base para os espaços V dados a seguir, contendo os respectivos conjuntos de vetores. V=P_{2}(\mathbb{R}), \quad S=\{t+1,2 t-1\}.