Determine uma base de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma base de M_{2\times2}(\mathbb{R}).
Informações que temos do enunciado (explícitas ou implícitas):
  • M_{2\times2}(\mathbb{R}) é o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • Uma matriz genérica desse espaço pode ser escrita como
\begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • O que se pede: apresentar um conjunto de matrizes que seja uma base desse espaço (ou seja, um conjunto que gere todo o espaço e cujos elementos sejam linearmente independentes).]

Passo 2

Explicando com calma o que significa “base” (sem pular etapas):
  • Um conjunto B de vetores (aqui: matrizes) é uma base de um espaço vetorial V quando duas condições valem simultaneamente:
    1. Span (geração): todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos elementos de B.
    2. Independência linear: a única combinação linear dos elementos de B que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
  • No caso de matrizes 2\times2, cada matriz tem 4 entradas livres ( a,b,c,d), então intuitivamente o espaço tem dimensão 4. Assim esperamos que uma base tenha exatamente 4 matrizes. Vou construir um conjunto com 4 matrizes e provar que ele gera o espaço e é independente.

Passo 3

Vou propor o conjunto canônico de matrizes que “isolam” uma entrada por vez (essas são muito usadas e fáceis de manipular). Defina as quatro matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Primeiro vou mostrar que essas quatro matrizes geram todo M_{2\times2}(\mathbb{R}) (ou seja, qualquer matriz 2\times2 é combinação linear delas).]

Passo 4

Provar que E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} geram o espaço:
  • Pegue uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, \qquad a,b,c,d\in\mathbb{R}.
  • Considere a combinação linear
a\,E_{11}+b\,E_{12}+c\,E_{21}+d\,E_{22}.
  • Calcule essa combinação entrada a entrada:
a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix} +d\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[4pt] c & d \end{pmatrix}=A.
  • Conclusão: qualquer matriz A pode ser escrita como combinação linear dos E_{ij}. Logo \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} gera M_{2\times2}(\mathbb{R}).]

Passo 5

Provar que E_{11},E_{12},E_{21},E_{22} são linearmente independentes:
  • Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma,\delta\in\mathbb{R} tais que
\alpha E_{11}+\beta E_{12}+\gamma E_{21}+\delta E_{22}= \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
  • Escrevendo a combinação, obtemos a matriz
\begin{pmatrix}\alpha & \beta\\[4pt]\gamma & \delta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.
  • Igualando entradas correspondentes, segue que \alpha=0, \beta=0, \gamma=0 e \delta=0.
  • Portanto a única combinação linear que dá a matriz zero é a trivial, o que mostra que as quatro matrizes são linearmente independentes.]

Passo 6

Conclusão e observação prática:
  • Como o conjunto \{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\} gera M_{2\times2}(\mathbb{R}) e é linearmente independente, ele é uma base desse espaço.
  • Observação útil para prova: qualquer base de M_{2\times2}(\mathbb{R}) terá exatamente 4 elementos (a dimensão do espaço), mas a base não é única — pode-se construir muitas bases diferentes trocando combinadamente essas matrizes, desde que se mantenham independência e geração.

Resposta

\displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}]