Determine uma base de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar uma base de
.
Informações que temos do enunciado (explícitas ou implícitas):
Informações que temos do enunciado (explícitas ou implícitas):
-
é o espaço de todas as matrizes com entradas reais. - Uma matriz genérica desse espaço pode ser escrita como
onde
.
- O que se pede: apresentar um conjunto de matrizes que seja uma base desse espaço (ou seja, um conjunto que gere todo o espaço e cujos elementos sejam linearmente independentes).]
Passo 2
Explicando com calma o que significa “base” (sem pular etapas):
- Um conjunto
de vetores (aqui: matrizes) é uma base de um espaço vetorial quando duas condições valem simultaneamente: - Span (geração): todo vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos elementos de . - Independência linear: a única combinação linear dos elementos de
que dá a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são zero.
- Span (geração): todo vetor de
- No caso de matrizes
, cada matriz tem entradas livres ( ), então intuitivamente o espaço tem dimensão . Assim esperamos que uma base tenha exatamente matrizes. Vou construir um conjunto com matrizes e provar que ele gera o espaço e é independente.
Passo 3
Vou propor o conjunto canônico de matrizes que “isolam” uma entrada por vez (essas são muito usadas e fáceis de manipular). Defina as quatro matrizes
Primeiro vou mostrar que essas quatro matrizes geram todo
(ou seja, qualquer matriz
é combinação linear delas).]
Passo 4
Provar que
geram o espaço:
- Pegue uma matriz genérica
- Considere a combinação linear
- Calcule essa combinação entrada a entrada:
- Conclusão: qualquer matriz
pode ser escrita como combinação linear dos . Logo gera .]
Passo 5
Provar que
são linearmente independentes:
- Suponha que existam escalares
tais que
- Escrevendo a combinação, obtemos a matriz
- Igualando entradas correspondentes, segue que
, , e . - Portanto a única combinação linear que dá a matriz zero é a trivial, o que mostra que as quatro matrizes são linearmente independentes.]
Passo 6
Conclusão e observação prática:
- Como o conjunto
gera e é linearmente independente, ele é uma base desse espaço. - Observação útil para prova: qualquer base de
terá exatamente elementos (a dimensão do espaço), mas a base não é única — pode-se construir muitas bases diferentes trocando combinadamente essas matrizes, desde que se mantenham independência e geração.