- Determine uma base para:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine uma base para o espaço vetorial
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- O espaço considerado é
.\n - A tarefa é fornecer uma coleção de vetores em
que formem uma base (ou seja, que gerem todo e sejam linearmente independentes).\n
Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, não foi pedido uma base ortonormal ou com alguma propriedade extra), então uma única base simples basta.
Passo 2
O que significa “base” de forma bem prática? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pressa.\n
Definição (em palavras): um conjunto de vetores forma uma base de se:\n
Definição (em palavras): um conjunto de vetores forma uma base de
- qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear desses vetores (isso se chama gerar ou span); e\n - essa representação é única, o que equivale a dizer que os vetores são linearmente independentes.\n
Agora explico os dois conceitos com calma.
Passo 3
O que é “gerar” (
)?\n
Dado um conjunto de vetores , dizer que eles geram
significa que para todo vetor
existe escalares
tais que
Dado um conjunto de vetores
Aqui
e
são os coeficientes da combinação linear;
e
são os vetores dados.\n
Exemplo prático: se eu escolher e
, então qualquer
pode ser escrito como
Exemplo prático: se eu escolher
Isso mostra que
e
geram
.
Passo 4
O que é “linearmente independente”?\n
Um conjunto é linearmente independente se a única solução do sistema
Um conjunto
é
e
.\n
Isto garante unicidade das combinações lineares: se há independência linear, os coeficientes que representam um vetor são únicos.\n
Continuando o exemplo: para e
, suponha
. Isso dá o sistema
Isto garante unicidade das combinações lineares: se há independência linear, os coeficientes que representam um vetor são únicos.\n
Continuando o exemplo: para
logo são linearmente independentes.
Passo 5
Mostrando de forma bem clara que
é uma base.\n
- Geração: já vimos que qualquer
escreve-se como
portanto geram
.\n
2) Independência: se então
e
. Logo são independentes.\n
Portanto é uma base. Essa é a base canônica ou padrão de
, a mais comum e fácil de usar numa prova.
2) Independência: se
Portanto
Passo 6
Mostro também outro exemplo de base para fixar a ideia e ensinar um método geral.\n
Considere os vetores e
.\n
Primeiro teste de geração: quero ver se, dado , existem
tais que
Considere os vetores
Primeiro teste de geração: quero ver se, dado
Isso gera o sistema de equações componentes:
Somando as duas equações:
então
Subtraindo a segunda da primeira:
então
Como para todo
existem
(esses valores) que funcionam, os vetores geram
.\n
Independência: a solução acima para dá
, logo são linearmente independentes.\n
Conclusão: também é uma base.
Independência: a solução acima para
Conclusão:
Passo 7
Um teste rápido e prático (muito usado em prova) para verificar se dois vetores formam base em
: montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante.\n
Se os vetores forem e
, a matriz é
Se os vetores forem
O determinante é
.\n
Regra prática: é base de
se, e somente se,
.\n
Interpretação intuitiva: significa que os vetores são colineares (um é múltiplo do outro), portanto não podem gerar
nem ser independentes.\n
Aplicando aos exemplos:\n
Regra prática:
Interpretação intuitiva:
Aplicando aos exemplos:\n
- Para
e , a matriz é com determinante .\n - Para
e , a matriz é com determinante .\n
Ambos confirmam que são bases.
Passo 8
Resumo prático para a prova (o que vale pontuar):\n
- Uma resposta válida e simples que resolve o enunciado é apresentar a base padrão
.\n - Se pedirem um método para verificar se um conjunto é base: mostre que gera (escrevendo um vetor genérico como combinação linear) e que é independente (só solução trivial) ou calcule o determinante (não nulo).\n
Você pode usar qualquer par de vetores não colineares; não precisa decorar muitos exemplos, basta saber testar com o determinante.