1. Determine uma base para:
\mathbb{R}^{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine uma base para o espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.\n
Informações dadas:\n
  • O espaço considerado é \mathbb{R}^{2}.\n
  • A tarefa é fornecer uma coleção de vetores em \mathbb{R}^{2} que formem uma base (ou seja, que gerem todo \mathbb{R}^{2} e sejam linearmente independentes).\n
    Não há outras restrições no enunciado (por exemplo, não foi pedido uma base ortonormal ou com alguma propriedade extra), então uma única base simples basta.

Passo 2

O que significa “base” de forma bem prática? Vou explicar passo a passo, devagar e sem pressa.\n
Definição (em palavras): um conjunto de vetores forma uma base de \mathbb{R}^{2} se:\n
  1. qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} pode ser escrito como combinação linear desses vetores (isso se chama gerar ou span); e\n
  2. essa representação é única, o que equivale a dizer que os vetores são linearmente independentes.\n
    Agora explico os dois conceitos com calma.

Passo 3

O que é “gerar” ( \operatorname{span})?\n
Dado um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2}\}\subset\mathbb{R}^{2}, dizer que eles geram \mathbb{R}^{2} significa que para todo vetor w\in\mathbb{R}^{2} existe escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
w = a v_{1} + b v_{2}.
Aqui a e b são os coeficientes da combinação linear; v_{1} e v_{2} são os vetores dados.\n
Exemplo prático: se eu escolher v_{1}=(1,0) e v_{2}=(0,1), então qualquer w=(x,y) pode ser escrito como
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1).
Isso mostra que (1,0) e (0,1) geram \mathbb{R}^{2}.

Passo 4

O que é “linearmente independente”?\n
Um conjunto \{v_{1},v_{2}\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha v_{1} + \beta v_{2} = (0,0)
é \alpha=0 e \beta=0.\n
Isto garante unicidade das combinações lineares: se há independência linear, os coeficientes que representam um vetor são únicos.\n
Continuando o exemplo: para v_{1}=(1,0) e v_{2}=(0,1), suponha \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0). Isso dá o sistema
\alpha = 0,\qquad \beta = 0,
logo são linearmente independentes.

Passo 5

Mostrando de forma bem clara que \{(1,0),(0,1)\} é uma base.\n
  1. Geração: já vimos que qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2} escreve-se como
(x,y) = x\,(1,0) + y\,(0,1),
portanto geram \mathbb{R}^{2}.\n
2) Independência: se \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) então \alpha=0 e \beta=0. Logo são independentes.\n
Portanto \{(1,0),(0,1)\} é uma base. Essa é a base canônica ou padrão de \mathbb{R}^{2}, a mais comum e fácil de usar numa prova.

Passo 6

Mostro também outro exemplo de base para fixar a ideia e ensinar um método geral.\n
Considere os vetores v_{1}=(1,1) e v_{2}=(1,-1).\n
Primeiro teste de geração: quero ver se, dado (x,y), existem c,d tais que
c(1,1) + d(1,-1) = (x,y).
Isso gera o sistema de equações componentes:
c + d = x,
c - d = y.
Somando as duas equações: 2c = x+y então
c = \frac{x+y}{2}.
Subtraindo a segunda da primeira: 2d = x-y então
d = \frac{x-y}{2}.
Como para todo (x,y) existem c,d (esses valores) que funcionam, os vetores geram \mathbb{R}^{2}.\n
Independência: a solução acima para (x,y)=(0,0) c=d=0, logo são linearmente independentes.\n
Conclusão: \{(1,1),(1,-1)\} também é uma base.

Passo 7

Um teste rápido e prático (muito usado em prova) para verificar se dois vetores formam base em \mathbb{R}^{2}: montar a matriz cujas colunas são os vetores e calcular o determinante.\n
Se os vetores forem v_{1}=(a,b) e v_{2}=(c,d), a matriz é
M = \begin{pmatrix} a & c \\\ b & d \end{pmatrix}.
O determinante é \det(M)=ad-bc.\n
Regra prática: \{v_{1},v_{2}\} é base de \mathbb{R}^{2} se, e somente se, \det(M)\neq 0.\n
Interpretação intuitiva: \det(M)=0 significa que os vetores são colineares (um é múltiplo do outro), portanto não podem gerar \mathbb{R}^{2} nem ser independentes.\n
Aplicando aos exemplos:\n
  • Para (1,0) e (0,1), a matriz é \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix} com determinante 1\neq0.\n
  • Para (1,1) e (1,-1), a matriz é \begin{pmatrix}1&1\\\ 1&-1\end{pmatrix} com determinante -2\neq0.\n
    Ambos confirmam que são bases.

Passo 8

Resumo prático para a prova (o que vale pontuar):\n
  • Uma resposta válida e simples que resolve o enunciado é apresentar a base padrão \{(1,0),(0,1)\}.\n
  • Se pedirem um método para verificar se um conjunto é base: mostre que gera (escrevendo um vetor genérico como combinação linear) e que é independente (só solução trivial) ou calcule o determinante (não nulo).\n
    Você pode usar qualquer par de vetores não colineares; não precisa decorar muitos exemplos, basta saber testar com o determinante.

Resposta

\{(1,0),(0,1)\}