Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(f) y' + y^2 sen(x) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, a gente está lidando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos verificar se conseguimos fazer essa separação e, se sim, encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Lembrando que é a derivada de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Para isso, colocamos todos os termos com de um lado e os termos com do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por .

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos começar integrando o lado esquerdo com respeito a :

Passo 5

Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 6

Igualando as duas integrais e combinando as constantes ( ):

Passo 7

Resolvendo para :
Podemos simplificar substituindo por uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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