Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, a gente está lidando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos verificar se conseguimos fazer essa separação e, se sim, encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Lembrando que
é a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
.
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. Vamos começar integrando o lado esquerdo com respeito a
:
Passo 5
Resolvendo as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Igualando as duas integrais e combinando as constantes (
):
Passo 7
Resolvendo para
:
Podemos simplificar substituindo
por uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.