Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(j) y' = x^2 / (1 + y^2)

Passo 1

Vamos analisar a equação diferencial . O objetivo é determinar se ela é separável e, se for, encontrar sua solução geral. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais separáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. Uma equação diferencial é separável se podemos escrever como um produto de uma função só de e outra só de , ou seja:
Se conseguirmos separar as variáveis e dessa forma, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 3

Na nossa equação, temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, conseguimos separar as variáveis e :

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados da equação separada:
Vamos resolver essas integrais uma por uma.

Passo 5

Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 6

Igualando as integrais:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:

Resposta

A equação diferencial é separável e sua solução geral é:

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