Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
(j)
(j)
Passo 1
Vamos analisar a equação diferencial
. O objetivo é determinar se ela é separável e, se for, encontrar sua solução geral. Para isso, vamos utilizar conceitos de equações diferenciais separáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação separável. Uma equação diferencial é separável se podemos escrever
como um produto de uma função só de
e outra só de
, ou seja:
Se conseguirmos separar as variáveis
e
dessa forma, podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 3
Na nossa equação, temos:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, conseguimos separar as variáveis
e
:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados da equação separada:
Vamos resolver essas integrais uma por uma.
Passo 5
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Igualando as integrais:
Podemos multiplicar todos os termos por 3 para simplificar:
Resposta
A equação diferencial é separável e sua solução geral é: