Determine se cada uma das funções a seguir é par, ímpar ou nem par, nem ímpar: x(t)=\frac{1}{4}\left|e^{t}+e^{-t}\right|
Passo 1
O enunciado dá a função
x(t)=\frac{1}{4}\left|e^{t}+e^{-t}\right|
e pede que se determine se ela é par, ímpar ou nem par nem ímpar.
Informações relevantes dadas:
A expressão da função é \displaystyle x(t)=\frac{1}{4}\left|e^{t}+e^{-t}\right|.
A pergunta é única: classificar a paridade da função (par, ímpar ou nenhuma das anteriores).
Passo 2
Recordando as definições (úteis para a prova):
Uma função f é par se, para todo t no domínio, vale \displaystyle f(-t)=f(t).
Uma função f é ímpar se, para todo t no domínio, vale \displaystyle f(-t)=-f(t).
Estratégia: substituir t por -t em x(t) e comparar com x(t).
Passo 3
Calcular \displaystyle x(-t) diretamente:
x(-t)=\frac{1}{4}\left|e^{-t}+e^{t}\right|.
Usando a propriedade comutativa da adição, \displaystyle e^{-t}+e^{t}=e^{t}+e^{-t}. Portanto
x(-t)=\frac{1}{4}\left|e^{t}+e^{-t}\right|.
Passo 4
Comparando com x(t) temos
x(-t)=\frac{1}{4}\left|e^{t}+e^{-t}\right|=x(t),
ou seja, a igualdade da definição de função par é satisfeita para todo t.
Comentário adicional (útil para entendimento): de fato \displaystyle e^{t}+e^{-t}=2\operatorname{cosh} t\ge 2>0, então o valor dentro do valor absoluto é sempre positivo e a função pode também ser escrita sem o módulo:
x(t)=\frac{1}{4}\bigl(e^{t}+e^{-t}\bigr),
o que torna evidente a simetria em t\mapsto -t. Além disso, para mostrar que não é ímpar basta notar que x(0)=\tfrac{1}{4}(e^{0}+e^{0})=\tfrac{1}{2}\neq 0, e uma função ímpar teria x(0)=0.
Passo 5
Conclusão: a função satisfaz x(-t)=x(t) para todo t, logo é uma função par.