Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
Um sinal ímpar satisfaz
e necessariamente passa pela origem.
Um sinal ímpar satisfaz
Passo 1
O enunciado dá a definição de sinal ímpar e pergunta se tal sinal necessariamente passa pela origem. Informação dada:
- A função (sinal) satisfaz
para todo no domínio da função.
O que se pede:
- Determinar se a afirmativa “um sinal ímpar necessariamente passa pela origem” é verdadeira ou falsa. Aqui “passar pela origem” significa que o ponto
pertence ao gráfico, ou seja, que .
Passo 2
Usar a definição diretamente em
. Como a igualdade vale para todo
do domínio, podemos substituir
na expressão
. Isso dá:
Passo 3
Simplificar
e resolver para
. Temos
, portanto
Somando
dos dois lados resulta
Dividindo por
(número não nulo) obtém-se
Passo 4
Interpretação geométrica: obter
significa que o ponto
pertence ao gráfico da função — isto é exatamente “passar pela origem”. Portanto, qualquer função que satisfaça
tem seu valor em zero igual a zero.
Passo 5
Observação importante (caveat prático): a dedução acima usa
, então pressupõe-se que a função esteja definida em
. Se uma função for ímpar na parte de seu domínio onde a igualdade vale, mas simplesmente não estiver definida em
(por exemplo
é ímpar para
mas não tem valor em
), então não faz sentido dizer que ela “passa pela origem” porque o ponto
não está no gráfico. Contudo, em enunciados usuais de sinais/funções onde se assume domínio que contém
, a conclusão
vale e a função passa pela origem.
Resposta
Verdadeira.