Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
Um sinal ímpar satisfaz x(t)=-x(-t) e necessariamente passa pela origem.

Passo 1

O enunciado dá a definição de sinal ímpar e pergunta se tal sinal necessariamente passa pela origem. Informação dada:
  • A função (sinal) satisfaz \,x(t) = -x(-t)\, para todo t no domínio da função.
O que se pede:
  • Determinar se a afirmativa “um sinal ímpar necessariamente passa pela origem” é verdadeira ou falsa. Aqui “passar pela origem” significa que o ponto (0,0) pertence ao gráfico, ou seja, que \,x(0)=0.

Passo 2

Usar a definição diretamente em t=0. Como a igualdade vale para todo t do domínio, podemos substituir t=0 na expressão \,x(t)=-x(-t)\,. Isso dá:
x(0) = -x(-0).

Passo 3

Simplificar -0 e resolver para x(0). Temos -0=0, portanto
x(0) = -x(0).
Somando x(0) dos dois lados resulta
x(0) + x(0) = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\,x(0)=0.
Dividindo por 2 (número não nulo) obtém-se
x(0)=0.

Passo 4

Interpretação geométrica: obter \,x(0)=0\, significa que o ponto (0,0) pertence ao gráfico da função — isto é exatamente “passar pela origem”. Portanto, qualquer função que satisfaça \,x(t)=-x(-t)\, tem seu valor em zero igual a zero.

Passo 5

Observação importante (caveat prático): a dedução acima usa x(0), então pressupõe-se que a função esteja definida em t=0. Se uma função for ímpar na parte de seu domínio onde a igualdade vale, mas simplesmente não estiver definida em 0 (por exemplo \,x(t)=1/t é ímpar para t\ne0 mas não tem valor em 0), então não faz sentido dizer que ela “passa pela origem” porque o ponto (0,0) não está no gráfico. Contudo, em enunciados usuais de sinais/funções onde se assume domínio que contém 0, a conclusão \,x(0)=0\, vale e a função passa pela origem.

Resposta

Verdadeira.

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