Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
Um sinal limitado é aquele que permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo.
Um sinal limitado é aquele que permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa:
“Um sinal limitado é aquele que permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo.”
Informações dadas:
- Há uma definição em linguagem natural: “permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo”.
- Precisa-se verificar se isso corresponde à definição correta de “sinal limitado”.
Passo 2
Vamos escrever a definição formal de sinal limitado (matematicamente clara). Seja
um sinal real (pode ser contínuo em
ou discreto em
; a definição é a mesma). Dizemos que
é limitado se existir uma constante real positiva
tal que
Explicando as coisas:
-
é o valor do sinal no instante . -
é o valor absoluto de , isto é, a amplitude sem sinal. - A expressão
significa "existe um número real positivo ". - A expressão
significa “para todo (para todo instante/índice)”.
Em palavras: existe um limite superior de amplitude
que nunca é ultrapassado pelo sinal, em nenhum instante.
Passo 3
Agora mostro que a frase do enunciado e a definição formal são equivalentes.
Frase do enunciado (reformulada matematicamente): existem números reais finitos
e
tais que
Isto significa que o sinal fica sempre dentro do intervalo finito
.
Queremos ver que isso é a mesma coisa que existir
com
para todo
.
- Se existem
e com para todo , então escolha
Para qualquer
tem-se
. Logo a condição do enunciado implica a condição formal de sinal limitado.
- Reciprocamente, se existe
com para todo , então para todo vale . Assim o sinal fica contido no intervalo finito . Portanto a condição formal implica a condição do enunciado.
Como as duas condições implicam uma à outra, são equivalentes.
Passo 4
Exemplos para fixar a ideia (bem prático, do jeitinho que gosto):
- Exemplo de sinal limitado:
. Sabemos que para todo . Então com temos e o sinal é limitado. - Exemplo de sinal não limitado:
. Para qualquer existe tal que , portanto não existe que limite todos os valores; o sinal é ilimitado (não limitado).
Passo 5
Portanto a frase do enunciado expressa corretamente a definição de sinal limitado: estar contido em um intervalo finito de amplitude para todo o tempo é exatamente o que significa ser limitado.
Força aí — você já viu a definição formal, a equivalência e exemplos práticos. Dá pra levar isso pra prova sussa 😃
Resposta
Verdadeiro