Determine se cada uma das seguintes afirmativas é verdadeira ou falsa.
Um sinal limitado é aquele que permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa:
“Um sinal limitado é aquele que permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo.”
Informações dadas:
  • Há uma definição em linguagem natural: “permanece dentro de um intervalo finito de amplitude para todo o tempo”.
  • Precisa-se verificar se isso corresponde à definição correta de “sinal limitado”.

Passo 2

Vamos escrever a definição formal de sinal limitado (matematicamente clara). Seja x(t) um sinal real (pode ser contínuo em t\in\mathbb{R} ou discreto em n\in\mathbb{Z}; a definição é a mesma). Dizemos que x é limitado se existir uma constante real positiva B tal que
|x(t)| \le B\qquad\text{para todo }t.
Explicando as coisas:
  • x(t) é o valor do sinal no instante t.
  • |x(t)| é o valor absoluto de x(t), isto é, a amplitude sem sinal.
  • A expressão "\exists B>0" significa "existe um número real positivo B".
  • A expressão "\forall t" significa “para todo t (para todo instante/índice)”.
Em palavras: existe um limite superior de amplitude B que nunca é ultrapassado pelo sinal, em nenhum instante.

Passo 3

Agora mostro que a frase do enunciado e a definição formal são equivalentes.
Frase do enunciado (reformulada matematicamente): existem números reais finitos m e M tais que
m \le x(t) \le M\qquad\text{para todo }t.
Isto significa que o sinal fica sempre dentro do intervalo finito [m,M].
Queremos ver que isso é a mesma coisa que existir B>0 com |x(t)|\le B para todo t.
  • Se existem m e M com m\le x(t)\le M para todo t, então escolha
B=\max\bigl(|m|,|M|\bigr).
Para qualquer t tem-se |x(t)|\le B. Logo a condição do enunciado implica a condição formal de sinal limitado.
  • Reciprocamente, se existe B>0 com |x(t)|\le B para todo t, então para todo t vale -B\le x(t)\le B. Assim o sinal fica contido no intervalo finito [-B,B]. Portanto a condição formal implica a condição do enunciado.
Como as duas condições implicam uma à outra, são equivalentes.

Passo 4

Exemplos para fixar a ideia (bem prático, do jeitinho que gosto):
  • Exemplo de sinal limitado: x(t)=\sin(t). Sabemos que -1\le \sin(t)\le 1 para todo t. Então com B=1 temos |\sin(t)|\le 1 e o sinal é limitado.
  • Exemplo de sinal não limitado: x(t)=t. Para qualquer B>0 existe t>B tal que |t|>B, portanto não existe B que limite todos os valores; o sinal é ilimitado (não limitado).

Passo 5

Portanto a frase do enunciado expressa corretamente a definição de sinal limitado: estar contido em um intervalo finito de amplitude para todo o tempo é exatamente o que significa ser limitado.
Força aí — você já viu a definição formal, a equivalência e exemplos práticos. Dá pra levar isso pra prova sussa 😃

Resposta

Verdadeiro

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