Defina se cada um dos sinais abaixo é de Potência ou de Energia e calcule o seu valor.
x(t)=r(t)-r(t-2)

Passo 1

O enunciado pede que eu classifique o sinal x(t)=r(t)-r(t-2) como sinal de energia ou de potência e calcule o respectivo valor (energia E ou potência média P). As informações dadas são apenas a expressão do sinal. Vou assumir a notação padrão para r(t): r(t) é a rampa unária, isto é, r(t)=t\,u(t), onde u(t) é o degrau unitário.

Passo 2

Rápida revisão dos conceitos usados (sem pular etapas):
  • O degrau unitário u(t)\) é definido por \[u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] 1, & t\ge 0. \end{cases}
  • A rampa unária r(t)\] é \[r(t)=t\,u(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & t\ge 0. \end{cases}\] - Uma função deslocada \(r(t-2) é simplesmente r(t) deslocada para a direita em 2 unidades:
r(t-2)=(t-2)\,u(t-2)=\begin{cases} 0, & t<2,\\[4pt] t-2, & t\ge 2. \end{cases}]

Passo 3

Vou escrever x(t) de forma peça a peça usando as expressões acima:
  • Para t<0: u(t)=0 e u(t-2)=0, logo r(t)=0 e r(t-2)=0. Assim
x(t)=0.
  • Para 0\le t<2: u(t)=1 e u(t-2)=0, logo r(t)=t e r(t-2)=0. Assim
x(t)=t.
  • Para t\ge 2: u(t)=1 e u(t-2)=1, logo r(t)=t e r(t-2)=t-2. Assim
x(t)=t-(t-2)=2.
Portanto, de forma compacta:
x(t)=\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] t, & 0\le t<2,\\[4pt] 2, & t\ge 2. \end{cases}]

Passo 4

Definição de energia de um sinal (sem pular etapas):
  • A energia \,E de um sinal x(t) é
E=\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^{2}\,dt.
Se E<\infty, o sinal é sinal de energia. Vou calcular E usando a expressão peça a peça:
E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}\,dt =\int_{-\infty}^{0}0\,dt+\int_{0}^{2}t^{2}\,dt+\int_{2}^{\infty}2^{2}\,dt.
Calculo cada termo:
\int_{0}^{2}t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
\int_{2}^{\infty}2^{2}\,dt=\int_{2}^{\infty}4\,dt=4\cdot\lim_{A\to\infty}(A-2)=\infty.
Como uma das parcelas diverge para infinito, temos
E=\infty.
Conclusão: a energia é infinita, logo x(t) NÃO é sinal de energia.

Passo 5

Definição de potência média de um sinal (sem pular etapas):
  • A potência média P de x(t) é
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt.
Vou calcular essa integral para T>2 (assim os limites de integração contêm toda a estrutura do sinal):
\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt =\int_{-T}^{0}0\,dt+\int_{0}^{2}t^{2}\,dt+\int_{2}^{T}4\,dt.
Já calculamos \int_{0}^{2}t^{2}\,dt=\dfrac{8}{3}. A última integral dá
\int_{2}^{T}4\,dt=4(T-2).
Portanto, para T>2,
\int_{-T}^{T}|x(t)|^{2}\,dt=\frac{8}{3}+4(T-2)=4T-\frac{16}{3}.
Agora aplico a definição de potência média:
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left(4T-\frac{16}{3}\right) =\lim_{T\to\infty}\left(2-\frac{8}{3T}\right)=2.
Assim a potência média é finita e igual a 2. Como a energia é infinita e a potência média é finita e não-nula, x(t) é um sinal de potência.

Passo 6

Resumo e interpretação curta (para fixar): a parte final do sinal é uma constante 2 para t grande, e um sinal não-nulo constante ao infinito leva energia infinita mas potência finita (a potência é o quadrado dessa constante dividido por 1 apropriado no cálculo; aqui resulta P=2). Fica como conclusão prática para a prova.

Resposta

Sinal de potência; P=2.
Energia: E=\infty.

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