Determine, em cada um dos seguintes casos, se o sistema descrito é ou não um grupo. Em caso negativo, sinalize qual ou quais dos axiomas de grupo não se verificam.
(\mathbb{Z}, \star), onde a \star b=a-b.

Passo 1

O enunciado dá o sistema (\mathbb{Z},\star) com a operação
a\star b = a-b.
A pergunta é: esse sistema é um grupo? Em caso negativo, indicar qual(is) axioma(s) de grupo não se verificam.
Informações fornecidas: o conjunto é \mathbb{Z} (inteiros) e a operação é subtração entre inteiros.

Passo 2

O que é preciso verificar para ser um grupo (definição e significado de cada axioma):
  • Fechamento: para todo a,b\in\mathbb{Z}, deve valer a\star b\in\mathbb{Z}. Ou seja, o resultado da operação tem de ficar no mesmo conjunto.
  • Associatividade: para todo a,b,c\in\mathbb{Z}, deve valer
(a\star b)\star c = a\star(b\star c).
Isto significa que a ordem de agrupar as operações não altera o resultado.
  • Existência de elemento neutro (identidade): existe e\in\mathbb{Z} tal que, para todo a\in\mathbb{Z},
a\star e = e\star a = a.
  • Existência de inversos: para cada a\in\mathbb{Z} existe a^{-1}\in\mathbb{Z} tal que
a\star a^{-1} = a^{-1}\star a = e,
onde e é o elemento neutro. (Os inversos são relativos ao elemento neutro.)
Vou checar cada um desses itens passo a passo para a operação dada.

Passo 3

Fechamento:
Tomando a,b\in\mathbb{Z}, tem-se
a\star b = a-b.
A diferença de dois inteiros é um inteiro, logo a\star b\in\mathbb{Z}. Portanto o axioma de fechamento é satisfeito.

Passo 4

Associatividade:
Calculemos as duas formas de agrupar:
(a\star b)\star c = (a-b)\star c = (a-b)-c = a - b - c,
a\star(b\star c) = a\star(b-c) = a - (b-c) = a - b + c.
Comparando, em geral
a - b - c \neq a - b + c
para c\neq 0. Ou seja, as expressões diferem (só coincidem quando c=0). Para ver um contraexemplo numérico claro, tome a=1, b=2, c=3:
(1\star2)\star3 = (1-2)-3 = -1-3 = -4,
1\star(2\star3) = 1-(2-3) = 1-(-1) = 2,
e -4\neq 2. Logo a operação \star não é associativa. Portanto o axioma da associatividade falha.

Passo 5

Elemento neutro:
Procuramos e\in\mathbb{Z} tal que, para todo a\in\mathbb{Z},
a\star e = a \quad\text{e}\quad e\star a = a.
Da primeira igualdade:
a\star e = a - e = a \quad\Rightarrow\quad e = 0.
Então e=0 satisfaz a\star 0 = a para todo a — isto é, \,0 é um neutro à direita (um elemento que atua como identidade quando aparece à direita). Agora verifiquemos a outra igualdade com e=0:
0\star a = 0 - a = -a.
Para que 0\star a = a fosse verdade para todo a precisaríamos de -a = a para todo a, o que é impossível (só ocorre para a=0). Portanto não existe um elemento e que satisfaça simultaneamente a\star e = a e e\star a = a para todo a. Conclusão: não existe elemento neutro bilateral; o axioma de existência de identidade (como elemento neutro dois-lados) falha. Observação útil: \,0 é apenas identidade à direita (pois a\star 0=a sempre), mas não à esquerda.

Passo 6

Inversos:
O axioma de inversos exige inversos em relação ao elemento neutro bilateral. Como não existe elemento neutro bilateral, não faz sentido falar em inversos bilaterais no sentido de grupo. Ainda assim, olhando para a identidade à direita 0, podemos ver que cada a satisfaz
a\star a = a-a = 0,
ou seja, cada a é uma “inversa à direita” de si mesmo relativamente ao neutro à direita 0. Mas não existem inversos bilaterais (esquerdo e direito coincidentes) porque falta o neutro bilateral. Logo o axioma de existência de inversos (no sentido de grupo) também não é satisfeito.

Passo 7

Conclusão final: o sistema não é um grupo, porque a operação não é associativa e não existe elemento neutro bilateral (portanto faltam também inversos no sentido exigido para grupos). O único axioma satisfeito entre os citados é o de fechamento.

Resposta

Não é grupo. Falham os axiomas de associatividade e existência de elemento neutro bilateral (por conseguinte não há inversos no sentido de grupo). O fechamento é satisfeito.