Determine, em cada um dos seguintes casos, se o sistema descrito é ou não um grupo. Em caso negativo, sinalize qual ou quais dos axiomas de grupo não se verificam.
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
com a operação
A pergunta é: esse sistema é um grupo? Em caso negativo, indicar qual(is) axioma(s) de grupo não se verificam.
Informações fornecidas: o conjunto é (inteiros) e a operação é subtração entre inteiros.
Informações fornecidas: o conjunto é
Passo 2
O que é preciso verificar para ser um grupo (definição e significado de cada axioma):
- Fechamento: para todo
, deve valer . Ou seja, o resultado da operação tem de ficar no mesmo conjunto. - Associatividade: para todo
, deve valer
Isto significa que a ordem de agrupar as operações não altera o resultado.
- Existência de elemento neutro (identidade): existe
tal que, para todo ,
- Existência de inversos: para cada
existe tal que
onde
é o elemento neutro. (Os inversos são relativos ao elemento neutro.)
Vou checar cada um desses itens passo a passo para a operação dada.
Passo 3
Fechamento:
Tomando , tem-se
Tomando
A diferença de dois inteiros é um inteiro, logo
. Portanto o axioma de fechamento é satisfeito.
Passo 4
Associatividade:
Calculemos as duas formas de agrupar:
Calculemos as duas formas de agrupar:
Comparando, em geral
para
. Ou seja, as expressões diferem (só coincidem quando
). Para ver um contraexemplo numérico claro, tome
,
,
:
e
. Logo a operação
não é associativa. Portanto o axioma da associatividade falha.
Passo 5
Elemento neutro:
Procuramos tal que, para todo
,
Procuramos
Da primeira igualdade:
Então
satisfaz
para todo
— isto é,
é um neutro à direita (um elemento que atua como identidade quando aparece à direita). Agora verifiquemos a outra igualdade com
:
Para que
fosse verdade para todo
precisaríamos de
para todo
, o que é impossível (só ocorre para
). Portanto não existe um elemento
que satisfaça simultaneamente
e
para todo
. Conclusão: não existe elemento neutro bilateral; o axioma de existência de identidade (como elemento neutro dois-lados) falha. Observação útil:
é apenas identidade à direita (pois
sempre), mas não à esquerda.
Passo 6
Inversos:
O axioma de inversos exige inversos em relação ao elemento neutro bilateral. Como não existe elemento neutro bilateral, não faz sentido falar em inversos bilaterais no sentido de grupo. Ainda assim, olhando para a identidade à direita , podemos ver que cada
satisfaz
O axioma de inversos exige inversos em relação ao elemento neutro bilateral. Como não existe elemento neutro bilateral, não faz sentido falar em inversos bilaterais no sentido de grupo. Ainda assim, olhando para a identidade à direita
ou seja, cada
é uma “inversa à direita” de si mesmo relativamente ao neutro à direita
. Mas não existem inversos bilaterais (esquerdo e direito coincidentes) porque falta o neutro bilateral. Logo o axioma de existência de inversos (no sentido de grupo) também não é satisfeito.
Passo 7
Conclusão final: o sistema não é um grupo, porque a operação não é associativa e não existe elemento neutro bilateral (portanto faltam também inversos no sentido exigido para grupos). O único axioma satisfeito entre os citados é o de fechamento.
Resposta
Não é grupo. Falham os axiomas de associatividade e existência de elemento neutro bilateral (por conseguinte não há inversos no sentido de grupo). O fechamento é satisfeito.