Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=56 s^2+112 s+9000s(s^2+6 s+9)

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar a função no tempo F(s) = 56s^2 + 112s + 9000s,(s^2 + 6s + 9) cuja Transformada de Laplace é
O conteúdo aqui é Inversa da Transformada de Laplace usando frações parciais. Pra resolver a gente vai:
  1. fatorar o denominador,
  2. decompor em frações parciais,
  3. achar os coeficientes,
  4. usar tabelinha de Transformada Inversa pra cada termo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^2 + 6s + 9 = (s + 3)^2
Então dá pra reescrever
F(s) = 56s^2 + 112s + 9000s,(s+3)^2

Passo 3

Agora a gente supõe que dá pra separar em:
F(s) = As ;+; Bs+3 ;+; C(s+3)^2
Pra descobrir 56s^2 + 112s + 9000 = A,(s+3)^2 + B,s,(s+3) + C,s multiplicamos tudo por :

Passo 4

Expandindo o lado direito:
A(s+3)^2 = A(s^2 +6s+9) = As^2 + 6As + 9A,
B,s,(s+3) = Bs^2 + 3Bs,
C,s = Cs
Somando dá
56s^2 + 112s + 9000 = (A + B),s^2 ;+; (6A + 3B + C),s ;+; 9A
Igualando coeficientes de A = 90009 = 1000 e termo constante:
  1. B = 56 - A = 56 - 1000 = -944
  2. 6cdot1000 + 3cdot(-944) + C = 112 Longrightarrow 6000 - 2832 + C = 112
  3. Longrightarrow; 3168 + C = 112 Longrightarrow C = 112 - 3168 = -3056
Da 3) vem
Substituindo em 1):
E em 2):

Passo 5

Agora temos
F(s) = 1000s ;-; 944s+3 ;-; 3056(s+3)^2
Usando a tabela de inversa de Laplace:
  • 1000cdot1 ;-;944,e^-3t ;-;3056,t,e^-3t ,
  • ,
  • .
Então cada termo vira:

Resposta

boxedf(t) ;=; 1000 ;-; 944,e^-3t ;-; 3056,t,e^-3t

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