Determine f(t) para cada uma das seguintes funções
F(s)=8 s^3+89 s^2+311 s+300s(s+2)(s^2+8 s+15)

Passo 1

Beleza, a gente tem a função de Laplace
F(s)=8s^3+89s^2+311s+300s,(s+2)(s^2+8s+15)
e quer encontrar , que é a transformada inversa de Laplace.
Conteúdo: transformada inversa de Laplace usando frações parciais.
O que precisamos:
1. Fatorar o denominador em raízes simples.
2. Fazer a decomposição em frações parciais.
3. Identificar cada termo com uma transformada inversa conhecida (exponenciais).

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
s,(s+2)(s^2+8s+15) e s^2+8s+15=(s+3)(s+5)
Então
F(s)=8s^3+89s^2+311s+300s,(s+2)(s+3)(s+5)

Passo 3

Agora montamos a decomposição em frações parciais:
8s^3+89s^2+311s+300s,(s+2)(s+3)(s+5) =As+Bs+2+Cs+3+Ds+5
Multiplicamos tudo por 8s^3+89s^2+311s+300 =A,(s+2)(s+3)(s+5) +B,s,(s+3)(s+5) +C,s,(s+2)(s+5) +D,s,(s+2)(s+3) para achar :

Passo 4

Usamos o “método cover-up” (avaliar em cada polo):
  1. Em F(s)=10s+5s+2-8s+3+1s+5 :
    LHS = .
    RHS = .
    Logo .
  2. Em :
    LHS = .
    RHS = .
    Logo .
  3. Em :
    LHS = .
    RHS = .
    Logo .
  4. Em :
    LHS = .
    RHS = .
    Logo .
Então

Passo 5

Para cada termo aplicamos a transformada inversa de Laplace:
  • f(t) =10cdot1 +5,e^-2t -8,e^-3t +1,e^-5t, t>=0 .
  • .
Logo

Resposta

boxedf(t)=10+5e^-2t-8e^-3t+e^-5t

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