Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2 n}}\

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2n}}
e decidir se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar sua soma. O conteúdo aqui é o estudo de séries geométricas e o critério de convergência para elas.

Passo 2

Reconhecemos que a série é geométrica de primeiro termo
a_1 = \frac{1}{e^2}
e razão
q = \frac{1}{e^2}.
Como \lvert q\rvert = \frac{1}{e^2}<1, a série converge.

Passo 3

Para uma série geométrica com \lvert q\rvert<1, a soma vale
S = \frac{a_1}{1-q}.
Aqui,
S = \frac{\frac{1}{e^2}}{1 - \frac{1}{e^2}} = \frac{1/e^2}{\frac{e^2-1}{e^2}} = \frac{1}{e^2-1}.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{e^{2n}} = \frac{1}{e^2-1}.

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