Determine se cada série abaixo converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} 5 \frac{e^{n}}{3^{n}}\

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} 5\,\frac{e^{n}}{3^{n}}
converge ou diverge. O conteúdo principal é o estudo de séries geométricas, e vamos precisar usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma quando elas convergem.

Passo 2

Reescrevemos a série na forma padrão de uma série geométrica. Note que
5\,\frac{e^{n}}{3^{n}} =5\Bigl(\frac{e}{3}\Bigr)^{n}.
Logo, trata-se de uma série geométrica com primeiro termo a=5\bigl(\tfrac{e}{3}\bigr) e razão
r=\frac{e}{3}.

Passo 3

O critério de convergência para séries geométricas diz que ela converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Como
r=\frac{e}{3}\approx\frac{2,718}{3}\approx0,906<1,
concluímos que a série é convergente.

Passo 4

Quando uma série geométrica \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} converge, sua soma é dada por
\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} =\frac{ar}{1-r}.
Aqui a=5 e r=\tfrac{e}{3}, então
\sum_{n=1}^{\infty}5\Bigl(\frac{e}{3}\Bigr)^{n} =\frac{5\cdot\frac{e}{3}}{1-\frac{e}{3}} =\frac{\frac{5e}{3}}{\frac{3-e}{3}} =\frac{5e}{3-e}.

Resposta

A série converge e sua soma é
\frac{5e}{3-e}.

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