Determine la capacidad soporte última y admisible bajo una carga completamente vertical y centrada para una zapata de 2.5 \mathrm{~m} \times 2.5 \mathrm{~m} con una profundidad de 1.5 m cimentada sobre un suelo con las siguientes propiedades:
  • \varphi=20^{\circ}, \mathrm{c}=25 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{2}, \gamma=16 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}
    *Utilice la ecuación de Meyerhoff con todos los factores de capacidad de carga, profundidad, inclinación v forma.
    Considere que el nivel freático está a 75 cm de la superficie. Utilice \gamma_{\text {sat }}= 18.5 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}

Passo 1

Enunciado y datos dados (lo que pide la tarea): \n
  • Se solicita calcular la capacidad de soporte última y la admisible para una zapata cuadrada de 2,5\\ \mathrm{m}\times 2,5\\ \mathrm{m} y profundidad de cimentación D_f=1,5\\ \mathrm{m}, sometida a carga completamente vertical y centrada. \n
  • Propiedades del suelo: \varphi=20^\circ, c=25\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2, \gamma=16\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (unidad de peso del suelo por encima del nivel freático), \gamma_{\text{sat}}=18,5\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 (unidad saturada indicada). \n
  • Nivel freático a 0,75\\ \mathrm{m} por debajo de la superficie (es decir, la base de la zapata a 1,5\\ \mathrm{m} está por debajo del agua libre). \n
  • Indicación: usar la ecuación de Meyerhof con todos los factores de forma, profundidad e inclinación. La carga es vertical y centrada (por tanto, los factores de inclinación serán 1). \n
  • Se pide obtener: capacidad última q_u (en \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2) y capacidad admisible q_{adm} (usar factor de seguridad usual; se aplicará FS=3 salvo otra indicación). \n

Passo 2

Presentación de la fórmula de Meyerhof y explicación de cada término (mini-clase): \n
La expresión general de Meyerhof para la capacidad última de una zapata es
q_u \;=\; c\,N_c\,s_c\,d_c\,i_c \;+\; q\,N_q\,s_q\,d_q\,i_q \;+\; \tfrac{1}{2}\,\gamma'\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma\,i_\gamma.
Explico cada símbolo (porque esto aparece en la fórmula y es importante saber qué significa): \n
  • q_u: capacidad última (presión última sobre el terreno). \n
  • c: cohesión del suelo (aquí 25\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2). \n
  • N_c,N_q,N_\gamma: factores de capacidad que dependen de \varphi (ángulo de fricción). Daré cómo calcularlos enseguida. \n
  • s_c,s_q,s_\gamma: factores de forma (por la relación entre B y L; para zapata cuadrada B=L). \n
  • d_c,d_q,d_\gamma: factores de profundidad (por la relación D_f/B). \n
  • i_c,i_q,i_\gamma: factores de inclinación de la carga (si la carga es vertical y centrada, i's = 1). \n
  • q: sobrecarga efectiva en la base de la zapata, o sea la tensión vertical efectiva a la cota de la base: \,q=\sigma'_{v0}= peso efectivo del suelo por encima de la base. \n
  • \gamma': peso unitario efectivo inmediatamente debajo de la base (cuando hay freático, se usa el peso efectivo \gamma'=\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w). \n
  • B: ancho de la zapata (aquí B=2,5\\ \mathrm{m}). \n
    Nota didáctica: la primera suma usa la cohesión, la segunda la sobrecarga (sensible al esfuerzo vertical en la base) y la tercera representa el efecto del peso del terreno que empuja lateralmente (término con \gamma' y N_\gamma). Los factores s, d, i corrigen por forma, profundidad e inclinación según Meyerhof.

Passo 3

Cálculo de la sobrecarga efectiva q en la base teniendo en cuenta el nivel freático (mini-clase sobre cómo tratar el agua): \n
  • La zapata tiene base a D_f=1,5\\ \mathrm{m}. El nivel freático está a 0,75\\ \mathrm{m} de la superficie, por tanto la capa encima de la base se compone de: 0,75\\ \mathrm{m} de suelo seco (o al menos no saturado) con \gamma=16\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3 y 0,75\\ \mathrm{m} de suelo saturado. \n
  • Para el por debajo del freático usamos el peso efectivo \gamma'=\gamma_{\text{sat}}-\gamma_w. Tomando \gamma_w\approx 9,81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3, \gamma' = 18{,}5 - 9{,}81 = 8{,}69\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3. \n
  • La tensión vertical efectiva en la base es la suma de contribuciones efectivas de las capas:
q = 16\cdot 0{,}75 + 8{,}69\cdot 0{,}75 = 12 + 6{,}5175 = 18{,}5175\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Redondeando: q \approx 18{,}52\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2. \n
Comentario: aquí usamos la regla física de que la presión efectiva es la suma de los pesos efectivos de las capas sobre la profundidad de la base. Es importante restar la presión de poro (uso de \gamma') para la parte saturada.

Passo 4

Cálculo de los factores de capacidad N_q, N_c y N_\gamma (mini-clase sobre las fórmulas): \n
Fórmulas estándar (usadas en Meyerhof / muchas referencias):
N_q = e^{\pi \tan\varphi}\cdot \tan^2\!\bigl(45^\circ+\tfrac{\varphi}{2}\bigr)
N_c = \frac{N_q-1}{\tan\varphi}
N_\gamma = 2\,(N_q+1)\tan\varphi.
Ahora evaluamos para \varphi=20^\circ. Valores trigonométricos: \sin20^\circ\approx 0{,}3420, \tan20^\circ\approx 0{,}36397. \n
Cálculos (muestro los pasos numéricos): \n
  • \pi\tan\varphi = \pi\cdot 0{,}36397 \approx 1{,}14397. Entonces e^{\pi\tan\varphi}\approx 3{,}1381. \n
  • \tan^2(45^\circ+\tfrac{\varphi}{2}) es algebraicamente igual a \dfrac{1+\sin\varphi}{1-\sin\varphi}. Con \sin\varphi\approx 0{,}3420 se obtiene \dfrac{1{,}3420}{0{,}6580}\approx 2{,}0395. \n
  • Por tanto
N_q \approx 3{,}1381\times 2{,}0395 \approx 6{,}402.
  • Ahora
N_c = \frac{N_q-1}{\tan\varphi} = \frac{6{,}402-1}{0{,}36397} \approx \frac{5{,}402}{0{,}36397}\approx 14{,}847.
  • Y
N_\gamma = 2\,(N_q+1)\tan\varphi = 2(6{,}402+1)\cdot 0{,}36397 \approx 5{,}386.
Resumiendo: N_q\approx 6{,}402, N_c\approx 14{,}847, N_\gamma\approx 5{,}386.

Passo 5

Cálculo de los factores de forma s y de profundidad d (mini-clase y elección de fórmulas de Meyerhof): \n
  • La zapata es cuadrada: B=L=2{,}5\\ \mathrm{m}. Para una zapata cuadrada B/L=1. \n
  • Fórmulas de forma usuales (Meyerhof):
s_c = 1 + 0{,}2\frac{B}{L},\qquad s_q = 1 + 0{,}1\frac{B}{L},\qquad s_\gamma = 1 - 0{,}3\frac{B}{L}.
Para B/L=1:
s_c = 1{,}2,\quad s_q = 1{,}1,\quad s_\gamma = 0{,}7.
  • Factores de profundidad (formas usuais empleadas en Meyerhof):
d_c = 1 + 0{,}2\frac{D_f}{B},\qquad d_q = 1 + 0{,}1\frac{D_f}{B},\qquad d_\gamma = 1.
Aquí \dfrac{D_f}{B}=\dfrac{1{,}5}{2{,}5}=0{,}6. Entonces:
d_c = 1 + 0{,}2\cdot 0{,}6 = 1{,}12,\qquad d_q = 1 + 0{,}1\cdot 0{,}6 = 1{,}06,\qquad d_\gamma = 1.
  • Factores de inclinación i_c,i_q,i_\gamma: como la carga es vertical y centrada, tomamos i_c=i_q=i_\gamma=1. \n
    (Observación: estas expresiones para s y d son las habituales adoptadas en aplicaciones prácticas de Meyerhof; si su profesor tiene tablas distintas, habría que usar esas tablas.)

Passo 6

Sustitución en la ecuación de Meyerhof y cálculo numérico término a término (mostrando cada paso): \n
Repetimos la fórmula:
q_u = c\,N_c\,s_c\,d_c + q\,N_q\,s_q\,d_q + \tfrac{1}{2}\,\gamma'\,B\,N_\gamma\,s_\gamma\,d_\gamma.
Ya tenemos: c=25, N_c\approx 14{,}847, s_c=1{,}2, d_c=1{,}12. Calculamos el primer término:
T_1 = c\,N_c\,s_c\,d_c = 25\cdot 14{,}847\cdot 1{,}2\cdot 1{,}12 \approx 498{,}81\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Segundo término: con q\approx 18{,}5175, N_q\approx 6{,}402, s_q=1{,}1, d_q=1{,}06:
T_2 = q\,N_q\,s_q\,d_q \approx 18{,}5175\cdot 6{,}402\cdot 1{,}1\cdot 1{,}06 \approx 138{,}29\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Tercer término: usamos \gamma' = \gamma_{\text{sat}}-\gamma_w = 8{,}69\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^3, B=2{,}5, N_\gamma\approx 5{,}386, s_\gamma=0{,}7, d_\gamma=1:
T_3 = \tfrac{1}{2}\,\gamma'\,B\,N_\gamma\,s_\gamma \approx \tfrac{1}{2}\cdot 8{,}69\cdot 2{,}5\cdot 5{,}386\cdot 0{,}7 \approx 40{,}97\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Sumando los tres términos:
q_u = T_1 + T_2 + T_3 \approx 498{,}81 + 138{,}29 + 40{,}97 \approx 678{,}07\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Redondeando a cifras prácticas: q_u \approx 678\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2. \n
Comentario: la mayor contribución viene del término cohesivo en este caso (suelo con c notable). El término volumétrico es relativamente pequeño debido a que la base está en zona saturada (peso efectivo reducido).

Passo 7

Cálculo de la capacidad admisible (mini-clase sobre factor de seguridad): \n
  • En diseño geotécnico es habitual dividir la capacidad última por un factor de seguridad FS para obtener la capacidad admisible: q_{adm} = \dfrac{q_u}{FS}. Un valor comúnmente usado es FS=3 (si no se indica otro, lo aplicamos). \n
  • Entonces
q_{adm} = \frac{678{,}07}{3} \approx 226{,}02\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2.
Redondeando: q_{adm}\approx 226\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2. \n
Ánimo: ya casi está — hemos ido paso a paso aplicando la fórmula, evaluando factores y teniendo cuidado con el nivel freático. Si tu examen pide otro FS o tablas con factores ligeramente distintos, reemplaza esas cifras y repites la suma.

Resposta

Capacidad última q_u \approx 678\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 \n
Capacidad admisible q_{adm} \approx 226\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2

Exercícios relacionados