Questăo 01 - Para a execuçăo do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a funçăo horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por \vec{F}=-b \vec{v}. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.
Table 1: Equações:
\captionsetup{labelformat=empty}
Média \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}=\frac{1}{N}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots x_{N}\right) Desvio padrão \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{n-1}} \sigma_{m}=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}
Regressão linear a=\frac{N \sum_{i=1}^{N} x_{i} y_{i}-\sum_{i=1}^{N} x_{i} \sum_{i=1}^{N} y_{i}}{N \sum_{i=1}^{N} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{N} x_{i}\right)^{2}} b=\frac{\sum_{i=1}^{N} y_{i}-a \sum_{i=1}^{N} x_{i}}{N}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Encontrar a função horária da velocidade do projétil quando se considera a resistência do ar dada por \vec{F}=-b\vec{v}.
  • Estimar a velocidade terminal da esfera.
Informações dadas (e hipóteses que adotarei sem pedir nada a mais):
  • Força de arrasto linear: \vec{F}_{\text{arrasto}}=-b\vec{v}, com b>0.
  • Força da gravidade: \vec{F}_g=m\vec{g}.
  • Vou tomar o eixo vertical para baixo como sentido positivo (isso facilita as contas para uma queda), de modo que a aceleração da gravidade tem componente g>0 para baixo.
  • Condição inicial usual em queda livre: a esfera é largada do repouso, isto é \,v(0)=0. Vou explicar também a solução com condição inicial genérica v(0)=v_0.
  • Não foram fornecidos números para m ou b; então a solução será simbólica. Vou mostrar também como estimar numericamente a velocidade terminal usando a forma de b na lei de Stokes quando aplicável.

Passo 2

Escrevendo a segunda lei de Newton com nossa convenção de sinais:
  • A resultante das forças na direção vertical (para baixo positiva) é \,F_{\text{res}}=m g - b v porque a gravidade puxa para baixo +mg e o arrasto atua para cima quando v>0, com componente -b v.
  • Pelo princípio fundamental da dinâmica temos:
m\frac{dv}{dt}=m g - b v.
Aqui \,v(t) é a velocidade vertical (positiva para baixo), m é a massa da esfera, b é o coeficiente linear de arrasto (unidade \mathrm{kg/s}), e g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Reescrevendo a equação diferencial em forma padrão:
\frac{dv}{dt}+\frac{b}{m}v=g.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo \frac{dv}{dt}+p(t)\,v=q(t) com p(t)=\tfrac{b}{m} constante e q(t)=g constante. Para resolver, uso o fator integrante.

Passo 4

Resolver por fator integrante (passo-a-passo didático):
  • O fator integrante é \mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{(b/m)t}.
  • Multiplico a equação por \mu(t):
e^{(b/m)t}\frac{dv}{dt}+\frac{b}{m}e^{(b/m)t}v=g\,e^{(b/m)t}.
  • O lado esquerdo é derivada do produto \frac{d}{dt}\big(e^{(b/m)t}v\big). Logo:
\frac{d}{dt}\big(e^{(b/m)t}v\big)=g\,e^{(b/m)t}.
  • Integro em t:
e^{(b/m)t}v(t)=\int g\,e^{(b/m)t}\,dt + C = \frac{g m}{b}e^{(b/m)t} + C,
onde C é constante de integração.
  • Dividindo por e^{(b/m)t}:
v(t)=\frac{m g}{b} + C e^{-(b/m)t}.

Passo 5

Aplicando condição inicial para determinar C:
  • Se a condição inicial genérica é v(0)=v_0, então
v(0)=\frac{m g}{b} + C \Rightarrow C = v_0 - \frac{m g}{b}.
  • Assim a solução geral é
v(t)=\frac{m g}{b} +\left(v_0-\frac{m g}{b}\right)e^{-(b/m)t}.

Passo 6

Caso usual: esfera largada do repouso ( v_0=0):
  • Substituindo v_0=0 na solução geral:
v(t)=\frac{m g}{b}\Big(1-e^{-(b/m)t}\Big).
Esta é a função horária da velocidade que o enunciado pediu: inicialmente v(0)=0 e v(t) cresce exponencialmente até um valor assintótico.

Passo 7

Velocidade terminal (estimativa simbólica e interpretação):
  • A velocidade terminal \,v_T é o valor limite quando t\to\infty. Da expressão acima:
v_T=\lim_{t\to\infty}v(t)=\frac{m g}{b}.
  • Interpretação física: no regime estacionário a força peso mg é balanceada pelo arrasto b v_T, logo mg=b v_T\Rightarrow v_T=mg/b.
  • Defino a constante de tempo \tau=\frac{m}{b}. A solução pode ser escrita como
v(t)=v_T\Big(1-e^{-t/\tau}\Big),
onde \tau indica o tempo característico para a velocidade se aproximar de v_T (em t=\tau a velocidade já atingiu cerca de 63{,}2\% de v_T).

Passo 8

Como estimar numericamente v_T quando se conhece a esfera e o meio:
  • Se o arrasto é realmente linear (regime de baixíssimo número de Reynolds, aplicável a partículas muito pequenas em fluido viscoso), podemos usar a lei de Stokes:
b=6\pi\eta R,
onde \eta é a viscosidade do fluido e R o raio da esfera.
  • A massa da esfera é \,m=\tfrac{4}{3}\pi R^3\rho_s, com \rho_s densidade do material da esfera.
  • Substituindo em v_T=\tfrac{m g}{b} obtemos a forma clássica de Stokes:
v_T=\frac{2}{9}\frac{\rho_s g R^2}{\eta}.
  • Observação importante (empática): cuidado! Essa fórmula vale somente se o fluxo ao redor da esfera estiver no regime de Stokes (número de Reynolds muito pequeno). Para esferas maiores caindo no ar, o arrasto costuma ser proporcional a v^2 e a análise muda. Então antes de usar a fórmula numérica, confirme o regime.

Passo 9

Exemplo numérico ilustrativo (só para entender escalas — não use isto como resposta do seu experimento sem checar regime):
  • Tome uma micro-esfera metálica muito pequena: R=10^{-5}\,\mathrm{m}, \rho_s=7800\,\mathrm{kg/m^3}, \eta_{\text{ar}}\approx 1{,}8\times10^{-5}\,\mathrm{Pa\cdot s}. Então
v_T\approx\frac{2}{9}\frac{7800\cdot 9{,}8\cdot(10^{-5})^2}{1{,}8\times10^{-5}}\approx 9{,}4\times10^{-2}\,\mathrm{m/s}.
  • Se você tentar usar a mesma fórmula para uma esfera de R=10^{-3}\,\mathrm{m} (1 mm) em ar, vai obter valores absurdos porque aí o arrasto não é linear e a aproximação de Stokes falha. Isso mostra a necessidade de escolher a lei de arrasto adequada ao problema.

Resposta

v(t)=\frac{m g}{b}+\left(v_0-\frac{m g}{b}\right)e^{-(b/m)t}
\text{Para }v_0=0:\quad v(t)=\frac{m g}{b}\big(1-e^{-(b/m)t}\big)
v_T=\frac{m g}{b}
\text{(Se o arrasto for de Stokes: }b=6\pi\eta R\text{ então }v_T=\frac{2}{9}\frac{\rho_s g R^2}{\eta}\text{)}ã

Exercícios relacionados