Questăo 01 - Para a execuçăo do experimento queda livre, a resistência do ar foi desconsiderada. Se fosse considerado a resistência do ar, como ficaria a funçăo horária para a velocidade do projétil considerando que a resistência do ar é dada por
. Desta forma, estime a velocidade terminal da esfera.
Table 1: Equações:\captionsetup{labelformat=empty}
Média
Desvio padrão
Regressão linear
Table 1: Equações:
\captionsetup{labelformat=empty}
| Média |
|
Desvio padrão |
|
|
|
| Regressão linear |
|
|
|||
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Encontrar a função horária da velocidade do projétil quando se considera a resistência do ar dada por
. - Estimar a velocidade terminal da esfera.
Informações dadas (e hipóteses que adotarei sem pedir nada a mais):
- Força de arrasto linear:
, com . - Força da gravidade:
. - Vou tomar o eixo vertical para baixo como sentido positivo (isso facilita as contas para uma queda), de modo que a aceleração da gravidade tem componente
para baixo. - Condição inicial usual em queda livre: a esfera é largada do repouso, isto é
. Vou explicar também a solução com condição inicial genérica . - Não foram fornecidos números para
ou ; então a solução será simbólica. Vou mostrar também como estimar numericamente a velocidade terminal usando a forma de na lei de Stokes quando aplicável.
Passo 2
Escrevendo a segunda lei de Newton com nossa convenção de sinais:
- A resultante das forças na direção vertical (para baixo positiva) é
porque a gravidade puxa para baixo e o arrasto atua para cima quando , com componente . - Pelo princípio fundamental da dinâmica temos:
Aqui
é a velocidade vertical (positiva para baixo),
é a massa da esfera,
é o coeficiente linear de arrasto (unidade
), e
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Reescrevendo a equação diferencial em forma padrão:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
com
constante e
constante. Para resolver, uso o fator integrante.
Passo 4
Resolver por fator integrante (passo-a-passo didático):
- O fator integrante é
. - Multiplico a equação por
:
- O lado esquerdo é derivada do produto
. Logo:
- Integro em
:
onde
é constante de integração.
- Dividindo por
:
Passo 5
Aplicando condição inicial para determinar
:
- Se a condição inicial genérica é
, então
- Assim a solução geral é
Passo 6
Caso usual: esfera largada do repouso (
):
- Substituindo
na solução geral:
Esta é a função horária da velocidade que o enunciado pediu: inicialmente
e
cresce exponencialmente até um valor assintótico.
Passo 7
Velocidade terminal (estimativa simbólica e interpretação):
- A velocidade terminal
é o valor limite quando . Da expressão acima:
- Interpretação física: no regime estacionário a força peso
é balanceada pelo arrasto , logo . - Defino a constante de tempo
. A solução pode ser escrita como
onde
indica o tempo característico para a velocidade se aproximar de
(em
a velocidade já atingiu cerca de
de
).
Passo 8
Como estimar numericamente
quando se conhece a esfera e o meio:
- Se o arrasto é realmente linear (regime de baixíssimo número de Reynolds, aplicável a partículas muito pequenas em fluido viscoso), podemos usar a lei de Stokes:
onde
é a viscosidade do fluido e
o raio da esfera.
- A massa da esfera é
, com densidade do material da esfera. - Substituindo em
obtemos a forma clássica de Stokes:
- Observação importante (empática): cuidado! Essa fórmula vale somente se o fluxo ao redor da esfera estiver no regime de Stokes (número de Reynolds muito pequeno). Para esferas maiores caindo no ar, o arrasto costuma ser proporcional a
e a análise muda. Então antes de usar a fórmula numérica, confirme o regime.
Passo 9
Exemplo numérico ilustrativo (só para entender escalas — não use isto como resposta do seu experimento sem checar regime):
- Tome uma micro-esfera metálica muito pequena:
, , . Então
- Se você tentar usar a mesma fórmula para uma esfera de
(1 mm) em ar, vai obter valores absurdos porque aí o arrasto não é linear e a aproximação de Stokes falha. Isso mostra a necessidade de escolher a lei de arrasto adequada ao problema.