Determine a característica das seguintes matrizes:
\mathrm{F}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 1 \\\\ 4 & 3 & -1 \\\\ 5 & 2 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede a “característica” da matriz \mathrm{F}\in M_{4\times3}(\mathbb{R}), que aqui corresponde ao posto (rank) de \mathrm{F}. Para achar o posto de uma matriz retangular, usamos a definição de posto como a dimensão do espaço gerado pelas colunas (igual ao maior tamanho de um menor não nulo).

Passo 2

Sabemos que o posto de \mathrm{F} satisfaz
\mathrm{rank}(\mathrm{F})\le\min(4,3)=3.
Para mostrar que \mathrm{rank}(\mathrm{F})=3, basta encontrar um menor de ordem 3 não nulo, ou seja, um determinante de uma submatriz 3\times3 diferente de zero.

Passo 3

Escolhemos as linhas 1, 2 e 4 e todas as colunas para formar a submatriz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 5 & 2 & 2 \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} =1\cdot(1\cdot2-1\cdot2)\;-\;1\cdot(2\cdot2-1\cdot5) \;+\;0 =0-(-1)=1\neq0.

Passo 4

Como existe um menor de ordem 3 não nulo, concluímos que
\mathrm{rank}(\mathrm{F})=3.

Resposta

O posto (rank) da matriz \mathrm{F} é 3.

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