Determine a carga elétrica de uma bola de forma esférica de raio 2 m, com uma densidade volumétrica de carga de λ ( r , φ , θ ) = 4 π C / m 3 , onde r é a distância ao centro da esfera

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a carga elétrica total de uma bola esférica de raio 2 metros. A matéria que estamos lidando aqui é de eletrostática, especificamente envolvendo densidade volumétrica de carga. Para resolver isso, vamos precisar integrar a densidade de carga por todo o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade volumétrica de carga, representada por $ \lambda(r, \phi, \theta) $. Ela nos diz quanta carga elétrica existe por unidade de volume em cada ponto dentro da esfera. No nosso caso, a densidade é constante: $ \lambda = 4\pi , C/m^3 $. Portanto, a carga total $ Q $ pode ser encontrada integrando essa densidade sobre todo o volume da esfera.

Passo 3

Para integrar a densidade volumétrica de carga em uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas (r, phi, theta). O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi
Então, a carga total $ Q $ será:
Q

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo. Como $ \lambda $ é constante, podemos tirá-la da integral:
lambda
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Q = lambda integral0^2pi dphi integral0^pi sintheta , dtheta integral0^2 r^2 , dr
Depois, integramos em relação a $ \theta $:
r
E por último, integramos em relação a $ \phi $:
integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83

Passo 5

Agora, multiplicamos todos os resultados:
Q = 4pi times 2pi times 83 = 64pi^23 , C

Resposta

A carga elétrica total da bola esférica é $ \frac{64\pi^2}{3} $ coulombs.

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