Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
Passo 1
O enunciado dá a equação do círculo
e pede duas coisas: (1) determinar o centro do círculo; (2) determinar o raio do círculo. Informação relevante dada: os coeficientes dos termos quadráticos são
(ou seja, há os termos
e
), os termos lineares são
e
(coeficientes
para cada um) e o termo constante é
.
Passo 2
Plano de ação (o que faremos): transformar a equação dada para a forma padrão de um círculo
onde
é o centro e
é o raio. Para isso vamos completar o quadrado nos termos em
e em
.
Antes de aplicar, uma lembrança útil sobre completar o quadrado: para uma expressão da forma
vale a identidade
Isto significa que ao acrescentar e subtrair
transformamos o termo quadrático+linear numa forma quadrada perfeita.
Passo 3
Aplique a identidade ao termo em
. Aqui
(porque temos
), então
Expliquei passo a passo: calculei
, eleva ao quadrado
, e substituí.
Passo 4
Agora aplique ao termo em
. Novamente
, então
Somemos as duas identidades e substituímos na equação original:
Agora simplificamos os termos constantes no lado esquerdo:
Portanto a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 5
Compare com a forma padrão
. Observa-se que
E o raio
é a raiz quadrada do lado direito:
Comentário amigo: o centro ficou no ponto
porque os sinais mudam ao passar da forma
para
. E o raio deve ser positivo, portanto tomamos a raiz positiva.
Passo 6
Dica rápida para a prova: se a equação tiver a forma
então o centro é
e o raio é
No nosso caso
,
,
, e aplicando essa fórmula chega-se ao mesmo resultado mais rapidamente. Mas é bom saber completar o quadrado para entender por que a fórmula funciona.
Resposta
Centro:
Raio:
Raio: