Determine o centro e o raio do círculo de equação dada:
x^{2}+y^{2}+x+y-1=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do círculo
x^{2}+y^{2}+x+y-1=0
e pede duas coisas: (1) determinar o centro do círculo; (2) determinar o raio do círculo. Informação relevante dada: os coeficientes dos termos quadráticos são 1 (ou seja, há os termos x^{2} e y^{2}), os termos lineares são x e y (coeficientes 1 para cada um) e o termo constante é -1.

Passo 2

Plano de ação (o que faremos): transformar a equação dada para a forma padrão de um círculo
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
onde (h,k) é o centro e r é o raio. Para isso vamos completar o quadrado nos termos em x e em y.
Antes de aplicar, uma lembrança útil sobre completar o quadrado: para uma expressão da forma x^{2}+b x vale a identidade
x^{2}+b x=\Bigl(x+\frac{b}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{b}{2}\Bigr)^{2}.
Isto significa que ao acrescentar e subtrair \left(\tfrac{b}{2}\right)^{2} transformamos o termo quadrático+linear numa forma quadrada perfeita.

Passo 3

Aplique a identidade ao termo em x. Aqui b=1 (porque temos x^{2}+1\cdot x), então
x^{2}+x=\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{2}.
Expliquei passo a passo: calculei \tfrac{b}{2}=\tfrac{1}{2}, eleva ao quadrado \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4}, e substituí.

Passo 4

Agora aplique ao termo em y. Novamente b=1, então
y^{2}+y=\Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}-\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^{2}.
Somemos as duas identidades e substituímos na equação original:
\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}-\frac{1}{4}+\Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}-\frac{1}{4}-1=0.
Agora simplificamos os termos constantes no lado esquerdo:
-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-1 = -\frac{1}{2}-1 = -\frac{3}{2}.
Portanto a equação fica
\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}-\frac{3}{2}=0.
Isolando os quadrados:
\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^{2}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Compare com a forma padrão (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}. Observa-se que
h=-\frac{1}{2},\qquad k=-\frac{1}{2}.
E o raio r é a raiz quadrada do lado direito:
r=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Comentário amigo: o centro ficou no ponto \bigl(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{2}\bigr) porque os sinais mudam ao passar da forma (x+\tfrac{1}{2}) para (x-h). E o raio deve ser positivo, portanto tomamos a raiz positiva.

Passo 6

Dica rápida para a prova: se a equação tiver a forma
x^{2}+y^{2}+D x+E y+F=0,
então o centro é \bigl(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\bigr) e o raio é
r=\sqrt{\Bigl(\frac{D}{2}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{E}{2}\Bigr)^{2}-F}.
No nosso caso D=1, E=1, F=-1, e aplicando essa fórmula chega-se ao mesmo resultado mais rapidamente. Mas é bom saber completar o quadrado para entender por que a fórmula funciona.

Resposta

Centro: \left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2}\right)
Raio: \sqrt{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}