Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
x(t)=t, y(t)=\ln (\cos (t)), t \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica x(t)=t, y(t)=\ln\bigl(\cos(t)\bigr) para t\in[0,1].
O conteúdo aqui é cálculo de comprimento de curva em parametrização, usando a fórmula
S=\int_{a}^{b}\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\;dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y:
x'(t)=1, \quad y'(t)=\frac{d}{dt}\ln\bigl(\cos t\bigr)=-\tan t.
Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
S=\int_{0}^{1}\sqrt{1^{2}+(-\tan t)^{2}}\;dt.

Passo 3

Dentro da raiz, 1+\tan^{2}t=\operatorname{sec}^{2}t. Logo
\sqrt{1+\tan^{2}t}=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}t}=\operatorname{sec} t
(em [0,1], \cos t>0, então \operatorname{sec} t>0). Portanto
S=\int_{0}^{1}\operatorname{sec} t\;dt.

Passo 4

Sabemos que uma primitiva de \operatorname{sec} t é
\int \operatorname{sec} t\;dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t + \tan t\bigr| + C.

Passo 5

Avaliamo-la entre 0 e 1:
S=\Bigl[\ln\bigl(\operatorname{sec} t + \tan t\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\ln\bigl(\operatorname{sec} 1 + \tan 1\bigr)-\ln\bigl(\operatorname{sec} 0+\tan 0\bigr) =\ln\bigl(\operatorname{sec} 1 + \tan 1\bigr).

Resposta

\boxed{S = \ln\bigl(\operatorname{sec} 1 + \tan 1\bigr)}.

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