1. Determine o comprimento de onda de De Broglie de um feixe de elétrons produzido por um acelerador de 1 \mathrm{GeV} .(1,2 \mathrm{fm})

Passo 1

O enunciado pede: determinar o comprimento de onda de De Broglie de um feixe de elétrons produzido por um acelerador com energia de 1\\ \mathrm{GeV}.
Informações relevantes dadas ou necessárias:
\text{energia cinética do elétron: } K = 1\\ \mathrm{GeV} = 1000\\ \mathrm{MeV},éé
\text{energia de repouso do elétron: } m c^{2} = 0,511\\ \mathrm{MeV},é
e constantes que vamos usar:
h c \approx 1239{,}84\\ \mathrm{MeV\cdot fm}\quad\text{(valor conveniente para converter em femtômetros).}ô

Passo 2

Apresento a relação de De Broglie que liga comprimento de onda \lambda e o momento linear p:
\lambda = \frac{h}{p}.
Aqui h é a constante de Planck e p é o momento linear do elétron. Para trabalhar em unidades úteis (MeV e fm) é prático escrever
\lambda = \frac{h c}{p c},
pois h c tem unidade \mathrm{MeV\cdot fm} e p c será expresso em \mathrm{MeV}, o que dá \lambda em \mathrm{fm}.

Passo 3

Precisamos calcular o momento p. Como a energia cinética K é muito maior que a energia de repouso ( 1000\\ \mathrm{MeV} vs 0{,}511\\ \mathrm{MeV}), devemos usar a relação relativística entre energia e momento. A relação relativística é:
E^{2}=(p c)^{2}+(m c^{2})^{2},
onde E é a energia total do elétron. A energia total é a soma da energia de repouso com a cinética:
E = K + m c^{2}.

Passo 4

Isolando p c da relação relativística:
p c = \sqrt{E^{2}-(m c^{2})^{2}}.
Substituímos E = K + m c^{2}.

Passo 5

Calculemos numericamente E e depois p c.
E = K + m c^{2} = 1000\\ \mathrm{MeV} + 0{,}511\\ \mathrm{MeV} = 1000{,}511\\ \mathrm{MeV}.
Agora o quadrado:
E^{2} = (1000{,}511)^{2} = 1\,001\,022{,}261121\\ \mathrm{MeV^{2}}
e
(m c^{2})^{2} = (0{,}511)^{2} = 0{,}261121\\ \mathrm{MeV^{2}}.
Subtraindo:
(p c)^{2} = E^{2}-(m c^{2})^{2} = 1\,001\,022{,}261121 - 0{,}261121 = 1\,001\,022{,}000000\\ \mathrm{MeV^{2}}.
Portanto
p c = \sqrt{1\,001\,022{,}000000}\\ \mathrm{MeV} \approx 1000{,}510999\\ \mathrm{MeV}.
Observe que, numericamente, p c é muito próximo de E porque m c^{2} é pequeno comparado a K.

Passo 6

Agora usamos \lambda = \dfrac{h c}{p c}. Tomando h c \approx 1239{,}84\\ \mathrm{MeV\cdot fm} e p c \approx 1000{,}510999\\ \mathrm{MeV}, temos
\lambda = \frac{1239{,}84}{1000{,}510999}\\ \mathrm{fm}.

Passo 7

Façamos a divisão e arredondamento com razoável número de algarismos significativos:
\lambda \approx 1{,}239\\ \mathrm{fm}.
Podemos arredondar para duas casas decimais se preferir:
\lambda \approx 1{,}24\\ \mathrm{fm}.

Passo 8

Comentário rápido de pedagogia (para você aplicar na prova): o passo-chave é reconhecer quando usar a fórmula relativística E^{2}=(p c)^{2}+(m c^{2})^{2}. Para elétrons com energia muito maior que m c^{2} o momento fica praticamente p c\approx E, e aí \lambda\approx h c / E é uma boa aproximação. No caso 1\\ \mathrm{GeV} obtivemos \sim 1{,}24\\ \mathrm{fm}, consistente com a aproximação.

Resposta

1{,}24\\ \mathrm{fm}

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