Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} / 2 x-2 y=0\right. e \left.t+x=z\right\}.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid 2x-2y=0\text{ e }t+x=z\}.
O conteúdo é resolução de sistema linear e parametrização para obter geradores.

Passo 2

Escrevemos as equações de W:
2x-2y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=y,
t+x=z \quad\Longrightarrow\quad z = t + x.

Passo 3

Escolhemos variáveis livres. Seja x=s e t=r, com s,r\in\mathbb{R}.
Então
y = s, \quad z = r + s.

Passo 4

O vetor genérico de W é
(x,y,z,t) = (s,\,s,\,s+r,\,r) = s\,(1,1,1,0) + r\,(0,0,1,1).

Passo 5

Portanto, um conjunto de geradores de W é
\{(1,1,1,0),\;(0,0,1,1)\}.

Resposta

\{(1,1,1,0),\,(0,0,1,1)\}

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