Determine se o conjunto S gera o espaço vetorial V=R^3. Se gerar, escreva u =(8,3,8) como uma combinação linear dos vetores em S.
S=(4,3,2),(0,3,2),(0,0,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores no espaço e quer saber se esses vetores conseguem gerar todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em , como , pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os vetores em A = 4 & 0 & 0 3 & 3 & 0 2 & 2 & 2 geram . Para isso, precisamos ver se os vetores são linearmente independentes e cobrem todo o espaço. Uma maneira comum de fazer isso é formando uma matriz com esses vetores e calculando o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(A) = 4(3 times 2 - 0 times 2) - 0(3 times 2 - 0 times 2) + 0(3 times 2 - 3 times 2) é dado por:
det(A) = 4(6 - 0) - 0(6 - 0) + 0(6 - 6) = 4 times 6 = 24
Para a nossa matriz:
Simplificando:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, isso significa que os vetores em são linearmente independentes e, portanto, geram .

Passo 4

Agora que sabemos que a cdot (4, 3, 2) + b cdot (0, 3, 2) + c cdot (0, 0, 2) = (8, 3, 8) gera 4a + 0b + 0c = 8 3a + 3b + 0c = 3 2a + 2b + 2c = 8 , podemos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores em . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso se traduz no seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira equação:
4a = 8 implies a = 2
Segunda equação:
3a + 3b = 3 3(2) + 3b = 3 6 + 3b = 3 3b = 3 - 6 3b = -3 implies b = -1
Terceira equação:
2a + 2b + 2c = 8 2(2) + 2(-1) + 2c = 8 4 - 2 + 2c = 8 2 + 2c = 8 2c = 8 - 2 2c = 6 implies c = 3

Resposta

Sim, o conjunto u = 2 cdot (4, 3, 2) - 1 cdot (0, 3, 2) + 3 cdot (0, 0, 2) gera o espaço vetorial . O vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em da seguinte forma:

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