Determine se o conjunto gera o espaço vetorial . Se gerar, escreva u como uma combinação linear dos vetores em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um conjunto de vetores no espaço e quer saber se esses vetores conseguem gerar todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em , como , pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os vetores em geram . Para isso, precisamos ver se os vetores são linearmente independentes e cobrem todo o espaço. Uma maneira comum de fazer isso é formando uma matriz com esses vetores e calculando o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, geram .
Vamos montar a matriz com os vetores de como colunas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz det(A) = 4(3 times 2 - 0 times 2) - 0(3 times 2 - 0 times 2) + 0(3 times 2 - 3 times 2) é dado por:
Como o determinante é 24, que é diferente de zero, isso significa que os vetores em são linearmente independentes e, portanto, geram .
Passo 4
Agora que sabemos que a cdot (4, 3, 2) + b cdot (0, 3, 2) + c cdot (0, 0, 2) = (8, 3, 8) gera 4a + 0b + 0c = 8 3a + 3b + 0c = 3 2a + 2b + 2c = 8 , podemos escrever o vetor como uma combinação linear dos vetores em . Ou seja, queremos encontrar escalares , e tais que:
Sim, o conjunto u = 2 cdot (4, 3, 2) - 1 cdot (0, 3, 2) + 3 cdot (0, 0, 2) gera o espaço vetorial . O vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em da seguinte forma: