Determine o conjunto solução das equações:
\frac{x}{a}-\frac{1-a}{b}=\frac{x-1}{b}+\frac{1-x}{1-a}

Passo 1

O enunciado pede encontrar o conjunto solução da equação racional
\frac{x}{a} \;-\;\frac{1-a}{b}\;=\;\frac{x-1}{b}\;+\;\frac{1-x}{1-a}
onde a, b e 1-a aparecem nos denominadores. O conteúdo é manipular frações algébricas e resolver para x.

Passo 2

Primeiro, identificamos o domínio exigindo que nenhum denominador seja zero: a\neq0, b\neq0 e 1-a\neq0 (isto é, a\neq1).

Passo 3

Para eliminar frações, multiplicamos ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, que é
a\,b\,(1-a).
Fazendo isso, cada termo fica assim:
  • \displaystyle \frac{x}{a}\times a\,b\,(1-a)=x\,b\,(1-a),
  • \displaystyle -\frac{1-a}{b}\times a\,b\,(1-a)=-a\,(1-a)^2,
  • \displaystyle \frac{x-1}{b}\times a\,b\,(1-a)=a\,(1-a)\,(x-1),
  • \displaystyle \frac{1-x}{1-a}\times a\,b\,(1-a)=a\,b\,(1-x).

Passo 4

Reunindo tudo numa só equação e passando todos os termos para o lado esquerdo, obtemos
x\,b\,(1-a)\;-\;a\,(1-a)^2\;-\;a\,(1-a)\,(x-1)\;-\;a\,b\,(1-x)=0.
Expandindo e agrupando os coeficientes de x e os termos constantes, chega-se a
x\bigl(b - a + a^2\bigr)\;+\;\bigl(a^2(1 - a)-a\,b\bigr)=0.

Passo 5

Isolando x, temos
x\,(b - a + a^2)=a\,b - a^2(1-a)=a\,(b - a + a^2).
Logo, se b - a + a^2\neq0, então
x = \frac{a\,(b - a + a^2)}{b - a + a^2}=a.
Se, por outro lado, b - a + a^2=0, ou seja b=a(1-a), o lado esquerdo e o lado direito da equação original coincidem identicamente (fica 0=0), de modo que qualquer x satisfaz a equação.

Resposta

Se b\neq a(1-a), a única solução é x=a. Se b=a(1-a) (com a\neq0,1 para manter os denominadores válidos), então a equação é identidade e todo x\in\mathbb{R} é solução.

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