Determine o conjunto solução das equações:
Passo 1
O enunciado pede encontrar o conjunto solução da equação racional
onde
,
e
aparecem nos denominadores. O conteúdo é manipular frações algébricas e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o domínio exigindo que nenhum denominador seja zero:
,
e
(isto é,
).
Passo 3
Para eliminar frações, multiplicamos ambos os lados pelo mínimo múltiplo comum dos denominadores, que é
Fazendo isso, cada termo fica assim:
-
, -
, -
, -
.
Passo 4
Reunindo tudo numa só equação e passando todos os termos para o lado esquerdo, obtemos
Expandindo e agrupando os coeficientes de
e os termos constantes, chega-se a
Passo 5
Isolando
, temos
Logo, se
, então
Se, por outro lado,
, ou seja
, o lado esquerdo e o lado direito da equação original coincidem identicamente (fica
), de modo que qualquer
satisfaz a equação.
Resposta
Se
, a única solução é
Se
(com
para manter os denominadores válidos), então a equação é identidade e todo
é solução.