Determine o conjunto solução das inequações:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação composta
Informações dadas:
- A expressão que aparece é
. - A inequação é composta (duas desigualdades juntas): uma estrita à esquerda (
) e uma não estrita à direita ( ).
O objetivo é encontrar todos os valores deque satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.
Passo 2
Entendendo como operar em uma inequação composta: quando temos uma desigualdade encadeada como
ou com variações (por exemplo
), podemos aplicar a mesma operação aritmética em todas as três partes ao mesmo tempo, desde que saibamos o efeito dessa operação sobre as desigualdades. Regras importantes:
- Somar ou subtrair a mesma constante em todos os membros não altera o sentido das desigualdades.
- Multiplicar ou dividir todos os membros por um número positivo não altera o sentido das desigualdades.
- Multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sentido das desigualdades.
Aqui vamos multiplicar por(que é positivo) e depois somar ; portanto os sentidos das desigualdades permanecem os mesmos.
Passo 3
Multiplico todos os termos da inequação por
(porque o denominador é
):
Calcule cada termo:
Explicação rápida:
,
e
.
Passo 4
Agora somo
a todos os termos (adição de mesma constante mantém os sentidos):
Simplificando cada termo:
Isso significa que
é maior que
(estrito) e menor ou igual a
.
Passo 5
Interpretação do resultado e verificação rápida:
- O limite esquerdo
é excluído porque a desigualdade era estrita ( ). Logo não pode ser . - O limite direito
é incluído porque a desigualdade era não estrita ( ). Logo é permitido.
Verificações rápidas: - Para
: que satisfaz . - Para
: , satisfaz (igual ao limite superior). - Para
: , não satisfaz porque precisa ser estritamente maior que .