Determine o conjunto solução das inequações:
0<\frac{x-1}{3} \leq 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar o conjunto solução da inequação composta
0<\frac{x-1}{3}\leq 2.
Informações dadas:
  • A expressão que aparece é \dfrac{x-1}{3}.
  • A inequação é composta (duas desigualdades juntas): uma estrita à esquerda ( >) e uma não estrita à direita ( \le).
    O objetivo é encontrar todos os valores de x que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades.

Passo 2

Entendendo como operar em uma inequação composta: quando temos uma desigualdade encadeada como
a < B < c
ou com variações (por exemplo a < B \le c), podemos aplicar a mesma operação aritmética em todas as três partes ao mesmo tempo, desde que saibamos o efeito dessa operação sobre as desigualdades. Regras importantes:
  • Somar ou subtrair a mesma constante em todos os membros não altera o sentido das desigualdades.
  • Multiplicar ou dividir todos os membros por um número positivo não altera o sentido das desigualdades.
  • Multiplicar ou dividir por um número negativo inverte o sentido das desigualdades.
    Aqui vamos multiplicar por 3 (que é positivo) e depois somar 1; portanto os sentidos das desigualdades permanecem os mesmos.

Passo 3

Multiplico todos os termos da inequação por 3 (porque o denominador é 3):
3\cdot 0 < 3\cdot\frac{x-1}{3} \le 3\cdot 2.
Calcule cada termo:
0 < x-1 \le 6.
Explicação rápida: 3\cdot\frac{x-1}{3}=x-1, 3\cdot 0=0 e 3\cdot 2=6.

Passo 4

Agora somo 1 a todos os termos (adição de mesma constante mantém os sentidos):
0+1 < x-1+1 \le 6+1.
Simplificando cada termo:
1 < x \le 7.
Isso significa que x é maior que 1 (estrito) e menor ou igual a 7.

Passo 5

Interpretação do resultado e verificação rápida:
  • O limite esquerdo 1 é excluído porque a desigualdade era estrita ( >). Logo x não pode ser 1.
  • O limite direito 7 é incluído porque a desigualdade era não estrita ( \le). Logo x=7 é permitido.
    Verificações rápidas:
  • Para x=2: \dfrac{2-1}{3}=\dfrac{1}{3} que satisfaz 0<\dfrac{1}{3}\le2.
  • Para x=7: \dfrac{7-1}{3}=2, satisfaz (igual ao limite superior).
  • Para x=1: \dfrac{1-1}{3}=0, não satisfaz porque precisa ser estritamente maior que 0.

Resposta

(1,7]