Determine a controlabilidade e a observabilidade dos sistemas descritos por
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
em que:
A=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & -3 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ll} 0 & 2 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a controlabilidade e a observabilidade do sistema linear dado por
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t)\\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
com as matrizes
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 2\end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{dimensão do estado } n=2,ã
e as matrizes A, B e C mostradas acima. Perguntas explícitas:
  • O sistema é controlável?
  • O sistema é observável?
A resolução começa a partir do passo seguinte.]

Passo 2

O que é controlabilidade (em linguagem prática)?
Controlabilidade significa: a partir de qualquer estado inicial x(0) é possível, com uma entrada apropriada u(t), levar o estado a qualquer outro estado x(T) em tempo finito. Na prática de prova usamos o critério de Kalman: para um sistema de dimensão n calcule a matriz de controlabilidade
\mathcal{C}=\big[\,B\quad A B\quad A^2 B\quad\cdots\big],
e o sistema é controlável se, e somente se, \operatorname{rank}(\mathcal{C})=n.
No nosso caso n=2, então precisamos apenas de
\mathcal{C}=\big[\,B\quad A B\,\big].

Passo 3

Calcule A B passo a passo. Multiplicamos A pela coluna B:
A B= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Multiplicando as linhas por B, primeiro componente:
0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1,
segundo componente:
0\cdot 0 + (-3)\cdot 1 = -3.
Logo
A B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Monte a matriz de controlabilidade:
\mathcal{C}=\big[\,B\quad A B\,\big] =\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.
Agora verifique o posto (rank). Para uma matriz 2\times2 é prático calcular o determinante: se \det(\mathcal{C})\neq 0 então \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2. Calcule o determinante:
\det(\mathcal{C}) = 0\cdot(-3) - 1\cdot 1 = -1 \neq 0.
Portanto \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2=n. Pelo critério de Kalman, o sistema é controlável.
Comentário intuitivo (útil na prova): a entrada u age direto em x_2 (veja B), e x_2 afeta x_1 através de A (porque \dot{x}_1=x_2), por isso conseguimos influenciar ambos os estados.]

Passo 5

O que é observabilidade (em linguagem prática)?
Observabilidade significa: a partir da saída y(t) medida no intervalo de tempo suficiente, é possível reconstruir o estado inicial x(0). O critério de Kalman para observabilidade usa a matriz de observabilidade
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\\[4pt] C A\\[4pt] C A^2\\[2pt]\vdots\end{pmatrix},
e o sistema é observável se, e somente se, \operatorname{rank}(\mathcal{O})=n.
Para n=2 basta verificar
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\\[4pt] C A\end{pmatrix}.]

Passo 6

Calcule C A passo a passo. Multiplicamos a linha C pela matriz A:
C A = \begin{pmatrix}0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & -3\end{pmatrix}.
Compute cada componente da linha resultante:
primeira componente:
0\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0,
segunda componente:
0\cdot 1 + 2\cdot(-3) = -6.
Logo
C A = \begin{pmatrix}0 & -6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Monte a matriz de observabilidade:
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\\[4pt] C A\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & -6\end{pmatrix}.
Agora verifique o posto. Observamos que a segunda linha é múltipla da primeira:
\begin{pmatrix}0 & -6\end{pmatrix} = -3\cdot \begin{pmatrix}0 & 2\end{pmatrix}.
Logo as duas linhas são linearmente dependentes, então \operatorname{rank}(\mathcal{O})=1 < 2. Pelo critério de Kalman o sistema não é observável.]

Passo 8

Interpretação do que significa esse resultado (útil para prova e entendimento):
Resolver \mathcal{O} v=0 mostra o subespaço não observável. Da matriz \mathcal{O} temos a equação
\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]0 & -6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix},
que reduz a 2 v_2=0, logo v_2=0 e v_1 livre. Portanto qualquer vetor da forma \begin{pmatrix}v_1\\[4pt]0\end{pmatrix} está no núcleo de \mathcal{O}: isto é, componentes do estado na direção de \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (o x_1) não aparecem na saída y e não podem ser reconstruídos a partir de y. Intuitivamente, aqui y=2x_2 depende só de x_2, então não conseguimos distinguir estados com o mesmo x_2 mas diferentes x_1.]

Resposta

Controlabilidade: o sistema é controlável.
Observabilidade: o sistema não é observável.

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