Determine a controlabilidade e a observabilidade dos sistemas descritos por
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
em que:
A=\left[\begin{array}{rr} -10 & 0 \\\\ 0 & -2 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 2 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema no espaço de estados
\dot{x}(t)=A x(t)+B u(t),\qquad y(t)=C x(t),
com as matrizes
A=\begin{pmatrix}-10 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}.
O que o problema pede: determinar se o sistema é controlável e se é observável. Todas as informações necessárias estão acima (não há figura faltando nem dados adicionais).]

Passo 2

Definição e teste de controlabilidade (explicado passo a passo).
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  • Para um sistema linear contínuo de dimensão 2, a matriz de controlabilidade de Kalman é
\mathcal{C} = \big[\,B\;\;A B\,\big],
e o sistema é controlável se, e somente se, \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2. Aqui \operatorname{rank} significa o posto (nº de colunas linearmente independentes).
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  • Primeiro calculemos A B. Fazendo a multiplicação:
A B = \begin{pmatrix}-10 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10\cdot0 + 0\cdot2\\[4pt]0\cdot0 + (-2)\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
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  • Agora a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]2 & -4\end{pmatrix}.
As colunas são \begin{pmatrix}0\\[4pt]2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\[4pt]-4\end{pmatrix}. Essas duas colunas são linearmente dependentes (a segunda é -2 vezes a primeira), logo o posto da matriz é 1, não 2.
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  • Conclusão parcial: \operatorname{rank}(\mathcal{C})=1, portanto o sistema NÃO é controlável. Intuição: B tem componente zero na primeira coordenada, e A é diagonal (sem acoplamento entre estados), então a entrada só atua na segunda variável de estado — não dá para influenciar a primeira componente x_1.]

Passo 3

Interpretação da controlabilidade (ajuda prática para prova).
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  • O subespaço controlável é o span das colunas de \mathcal{C}, isto é
\operatorname{Im}(\mathcal{C})=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}.
Isso confirma: só a direção do segundo estado é alcançável pelo controle. Na prática de prova: se pedirem quais estados são controláveis, responda que somente x_2 (a segunda coordenada) é atingível pela entrada.]

Passo 4

Definição e teste de observabilidade (explicado passo a passo).
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  • A matriz de observabilidade de Kalman para dimensão 2 é
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\\[4pt]C A\end{pmatrix},
e o sistema é observável se, e somente se, \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2. Aqui as linhas da matriz representam como as saídas e suas derivações (pela ação de A) dependem dos estados.
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  • Calculemos C A:
C A = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-10 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot(-10)+0\cdot0 & 1\cdot0 + 0\cdot(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 & 0\end{pmatrix}.
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  • Então a matriz de observabilidade é
\mathcal{O}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]-10 & 0\end{pmatrix}.
As duas linhas são linearmente dependentes (segunda = -10 vezes a primeira), logo \operatorname{rank}(\mathcal{O})=1, não 2.
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  • Conclusão parcial: \operatorname{rank}(\mathcal{O})=1, portanto o sistema NÃO é observável. Intuição: C mede apenas a primeira coordenada x_1; como A é diagonal, x_2 não “vaza” para x_1, então não conseguimos inferir x_2 a partir de y.]

Passo 5

Interpretação da observabilidade (ajuda prática para prova).
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  • O subespaço observável é o espaço gerado pelas colunas transpostas (ou pelas linhas de \mathcal{O}), aqui é \operatorname{span}\!\{(1,0)\}. Ou seja, só a primeira coordenada x_1 é observável.
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  • Em linguagem de modos: a dinamica com autovalor -10 (vetor próprio \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}) é observável mas não controlável; a dinâmica com autovalor -2 (vetor próprio \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}) é controlável mas não observável. Isso decorre de B atuar apenas em x_2 e C medir apenas x_1.]

Passo 6

Resumo final e dica rápida para a prova.
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  • Resumo: pelo teste de posto de Kalman, ambos os postos (controlabilidade e observabilidade) são iguais a 1 (< 2), então o sistema não é nem totalmente controlável nem totalmente observável.
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  • Dica prática: em questões rápidas, se A é diagonal e B tem um zero na posição correspondente ao estado i, esse estado i não será controlável; similarmente, se C tem zero na posição j, o estado j não será observável — isso evita multiplicar matrizes quando o problema é simples.

Resposta

Controlabilidade: o sistema não é controlável.
Observabilidade: o sistema não é observável.

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