Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{1}{n \ln (n)}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos positivos cuja soma é
\sum_{n=2}^{\infty} a_n
onde o termo geral é
a_n=\frac{1}{n\ln(n)}.
(Atenção: a série começa em n=2 porque \ln(1)=0 e a_1 não está definida; essa é a interpretação usual quando o termo geral envolve \ln(n).)
O que se pede: determinar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Preciso escolher um teste apropriado para séries de termos positivos. Uma boa opção aqui é o Teste da Integral (ou, alternativamente, o Teste de Condensação de Cauchy). Antes de aplicar o Teste da Integral devo verificar as hipóteses: é preciso uma função contínua, positiva e monótona decrescente f(x) tal que f(n)=a_n para x\ge2. Defino a função
f(x)=\frac{1}{x\ln(x)},\qquad x\ge2.
Agora mostro que f(x) é positiva e decrescente em [2,\infty).
  • Positividade: para x\ge2 tem-se \ln(x)>0, logo f(x)>0.
  • Monotonicidade: calculo a derivada de f. Para f(x)=\dfrac{1}{x\ln(x)},
f'(x) = -\frac{\ln(x)+1}{x^{2}(\ln(x))^{2}}.
Detalhe do cálculo: usar a regra do quociente ou reescrever f(x)=(\ln x)^{-1}x^{-1} e derivar; o numerador aparece como \ln(x)+1. Para x\ge2 temos \ln(x)+1>0 e o denominador x^{2}(\ln x)^{2}>0, portanto f'(x)<0 para x\ge2. Assim f é decrescente em [2,\infty).
Como f é contínua, positiva e decrescente em [2,\infty) e f(n)=a_n, posso aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Enunciado do Teste da Integral (explicado): se f é contínua, positiva e decrescente em [N,\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx
converge (é finita). Ou seja, avaliar a integral substitui avaliar a soma quando as hipóteses são satisfeitas.
Vou então estudar a integral
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}\,dx.

Passo 4

Calculo da integral. Faço a substituição natural \;u=\ln(x)\;. Então \;du=\dfrac{1}{x}\,dx, de modo que
\frac{1}{x\ln(x)}\,dx = \frac{1}{u}\,du.
Transformando os limites: quando x=2 tem u=\ln(2); quando x\to\infty tem u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}\,dx = \int_{\ln(2)}^{\infty}\frac{1}{u}\,du.
A integral da função 1/u é \ln|u|. Então
\int_{\ln(2)}^{T}\frac{1}{u}\,du = \ln(T)-\ln(\ln(2)).
Agora tomo T\to\infty. Como \lim_{T\to\infty}\ln(T)=\infty, segue que
\int_{\ln(2)}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \infty.
Portanto a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln(x)}\,dx diverge (é infinita).

Passo 5

Pelo Teste da Integral, a divergência da integral implica que a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln(n)}
também diverge. Em palavras: os termos \dfrac{1}{n\ln n} caem devagar demais (mais devagar que o necessário para somar até um valor finito), então a soma tende ao infinito.

Passo 6

Complemento didático (opcional, para fixar a ideia): outra forma padrão de ver isso é o Teste de Condensação de Cauchy. Como a_n é positiva e decrescente, a série \sum a_n converge se, e somente se, a série
\sum_{k=1}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}
converge. Aqui
2^{k}a_{2^{k}} = 2^{k}\cdot\frac{1}{2^{k}\ln(2^{k})} = \frac{1}{k\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{1}{k}.
Então a série condensada é proporcional à série harmônica \sum \dfrac{1}{k}, que diverge; logo a série original diverge. Isso dá uma verificação alternativa e mostra a razão pela qual o comportamento é “logaritmicamente” divergente.

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova: verificar que a_n>0 e a_n decresce para n\ge2; aplicar o Teste da Integral calculando \int_{2}^{\infty} \dfrac{dx}{x\ln x} com a substituição u=\ln x e concluir que a integral é \int_{\ln2}^{\infty}\dfrac{du}{u}=\infty. Conclusão: a série diverge. Força aí — é um exemplo clássico de “quase harmônica”: parecido com \dfrac{1}{n} mas com um log extra que não basta para fazer convergir.

Resposta

A série diverge.