Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado dá a série de termos positivos cuja soma é
onde o termo geral é
(Atenção: a série começa em
porque
e
não está definida; essa é a interpretação usual quando o termo geral envolve
.)
O que se pede: determinar se a série converge ou diverge.
O que se pede: determinar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Preciso escolher um teste apropriado para séries de termos positivos. Uma boa opção aqui é o Teste da Integral (ou, alternativamente, o Teste de Condensação de Cauchy). Antes de aplicar o Teste da Integral devo verificar as hipóteses: é preciso uma função contínua, positiva e monótona decrescente
tal que
para
. Defino a função
Agora mostro que
é positiva e decrescente em
.
- Positividade: para
tem-se , logo . - Monotonicidade: calculo a derivada de
. Para ,
Detalhe do cálculo: usar a regra do quociente ou reescrever
e derivar; o numerador aparece como
. Para
temos
e o denominador
, portanto
para
. Assim
é decrescente em
.
Como
é contínua, positiva e decrescente em
e
, posso aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Enunciado do Teste da Integral (explicado): se
é contínua, positiva e decrescente em
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (é finita). Ou seja, avaliar a integral substitui avaliar a soma quando as hipóteses são satisfeitas.
Vou então estudar a integral
Passo 4
Calculo da integral. Faço a substituição natural
. Então
, de modo que
Transformando os limites: quando
tem
; quando
tem
. Assim
A integral da função
é
. Então
Agora tomo
. Como
, segue que
Portanto a integral
diverge (é infinita).
Passo 5
Pelo Teste da Integral, a divergência da integral implica que a série
também diverge. Em palavras: os termos
caem devagar demais (mais devagar que o necessário para somar até um valor finito), então a soma tende ao infinito.
Passo 6
Complemento didático (opcional, para fixar a ideia): outra forma padrão de ver isso é o Teste de Condensação de Cauchy. Como
é positiva e decrescente, a série
converge se, e somente se, a série
converge. Aqui
Então a série condensada é proporcional à série harmônica
, que diverge; logo a série original diverge. Isso dá uma verificação alternativa e mostra a razão pela qual o comportamento é “logaritmicamente” divergente.
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova: verificar que
e
decresce para
; aplicar o Teste da Integral calculando
com a substituição
e concluir que a integral é
. Conclusão: a série diverge. Força aí — é um exemplo clássico de “quase harmônica”: parecido com
mas com um log extra que não basta para fazer convergir.
Resposta
A série diverge.